サラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事２

前回に続いて場の量子化をしていきます。

前回急遽出てきた\(\mathscr{L}=\mathscr{L}(\psi,\partial_{\mu}\psi)\)をラグランジアン密度といい、空間積分した\(L = \int dx \mathscr{L}\)をラグランジアンと呼びます。

ラグランジアン密度を使って、\(\psi\)に共役な場の運動量を

\[
\pi \equiv \frac{\delta \mathscr{L}}{\delta \partial_t \psi}
\]

と定義します。これは\(\partial_t\psi\)の形を\(\partial_t\psi+\delta\partial_t\psi\)と少し変えたとき、\(\mathscr{L}\)の変化量を場の運動量と定義する、という意味になります。

さて、ラグランジアン密度は\(\psi,\partial_\mu\psi\)の関数でしたが、\(\psi,\pi\)を表せる量を考えます。数学ではルジャンドル変換というものを用います。すると

\[
\mathscr{H} (\psi,\pi,\partial_x\psi)\equiv \pi\partial_t\psi-\mathscr{L}(\psi,\partial_\mu \psi)
\]

となる\(\mathscr{H}\)なる量が定義できます。これをハミルトニアン密度と呼びます。また\(H=\int dx \mathscr{H}\)をハミルトニアンと言います。

さて、ハミルトニアンの変分をとると

\[
\delta H = \int dx \left\{\frac{\delta\mathscr{H}}{\delta \psi}\delta\psi
+\frac{\delta\mathscr{H}}{\delta \pi}\delta\pi\right\} \tag{1}
\]

となります。一方

\[
\delta H =\delta \int dx \left\{ \pi\partial_t\psi -\mathscr{L}\right\} \\
=\int dx \left\{\delta\pi\partial_t\psi+\pi\delta\partial_t\psi
-\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \psi}\delta\psi
-\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_\mu\psi}\delta\partial_\mu\psi \right\} \\
\tag{2}
\]

となります。ここで第四項に注目します。時間と空間に分け、空間の項に部分積分を実行します。つまり

\[
\int dx \frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_\mu\psi}\delta\partial_\mu\psi
=\int dx\left\{\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_t\psi}\delta\partial_t\psi
-\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_x\psi}\delta\partial_x\psi\right\} \\
=\int dx\left\{\pi\delta\partial_t\psi
+\partial_x\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_x\psi}\delta\psi\right\} \tag{3}
\]

ここで、第一項に共役運動量の定義、かつ第２項導出にオイラーラグランジュ方程式導出時と同様、無限遠で\(\delta \psi=0\)を用いました。
(3)を(2)に代入し、(2)の第三項にオイラーラグランジュ方程式を適用すれば

\[
\delta H = \int dx \left\{\delta\pi\partial_t\psi+\pi\delta\partial_t\psi
-\partial_\mu\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_\mu\psi}\delta\psi
-\left(\pi\delta\partial_t\psi
+\partial_x\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_x\psi}\delta\psi \right) \right\} \\
= \int dx \left\{ \delta\pi\partial_t\psi
– \partial_t\frac{\delta\mathscr{L}}{\delta \partial_t\psi}\delta\psi \right\}\\
= \int dx \left\{ \delta\pi\partial_t\psi
– \partial_t\pi \delta\psi \right\}
\]

↑式の最後と(1)を比べることで、

\[
\frac{\delta H}{\delta \pi}= \partial_t\psi \\
\frac{\delta H}{\delta \psi}= – \partial_t\pi
\]

が得られます。これを(ハミルトンの)正準方程式といいます。

ここでポアソン括弧を定義します。任意の汎関数\(A,B\)に対して、
\[
\{A,B\}= \left\{\frac{\delta A}{\delta \psi}\frac{\delta B}{\delta\pi}
– \frac{\delta A}{\delta \pi}\frac{\delta B}{\delta\psi}\right\}
\]
と定義すると
\[
\{\psi,\pi\}=\{\psi(t,x),\pi(t,y)\}=\delta(x-y)\\
\{\psi,\psi\}=\{\pi,\pi\}=0
\]

が成り立ちます。ここで\(\delta(x)\)はディラック測度とよばれる超関数の一種で、通常の関数ではありません。イメージ的にはクロネッカーのデルタ\(\delta_{ij}\)の連続変数版の感じです。

ここまでが(古典)場の定式化となります。今回かなり愚直にゴリゴリ計算して、正準方程式を導出してみました。もっとスマートなやり方があるかと思いますが、ご容赦いただければと思います。

次回から量子化をしていきます。

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