サラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事４

前回の投稿で加重平均の係数が\(\exp(iS/\hbar),S=\int d^4x \mathscr{L}\)になることを記載しましたが、ここを掘り下げていきましょう。

正直いうと結構前提知識が必要になってくるので、悩ましいですが、、、
結論から先にいうと量子論の公理というか要請の１つ、

「ハミルトニアンが\(H\)である量子系の時間発展はユニタリ作用素\( \{\exp(iHt/\hbar )\}_{t\in\mathbb{R}}\)で記述される。つまり\(t=0\)で\(\varphi\)にある状態は時刻\(t\)には\(\exp(iHt/\hbar )\varphi\)の状態になる。」

というものが由来です。
これは要請なので、こうするとうまく実験結果とあう理論を作れるのでこうした、という気分のものでしかないです。

詳細に入る前に、場の状態の記述方法について、簡単に説明します。
場は時間と空間の関数ですので、この関数全体の集合\(\Psi\)を考えます。集合\(\Psi\)は遷移確率を考える上で内積が定義されていてほしく、かつ内積から誘導されるノルムが完備であってほしいので、ヒルベルト空間とします。
\(\Psi\)の元を\[|\psi\rangle\in \Psi \]と表し、\(\Psi\)上の内積を
\[
\left \langle \cdot |\cdot\right \rangle : \Psi\times \Psi \ni \psi_1 \times \psi_2
\rightarrow \left \langle \psi_1|\psi_2 \right \rangle\in \mathbb{C}
\]
で表すものとします。さらに\(\Psi\)上の完全正規直交基底を\( \{ e_n\}_{n\in\mathbb{N}}\)とすると、パーセバルの等式\(\left \langle \psi_1|\psi_2 \right \rangle = \sum_n \left \langle \psi_1|e_n \right \rangle\left \langle e_n|\psi_2 \right \rangle\)から、
\[
\sum_n \left| e_n \right\rangle \left \langle e_n \right| = 1
\]
がいえます。これを完全性の条件といいます。
※完全性の定義は、ヒルベルト空間\(\Psi\)のある正規直交系\(\{e_n\}_n\)が、\(|\psi \rangle \in \Psi \)に対して\(\langle e_n | \psi \rangle =0\)を満たすのは\(|\psi\rangle = 0\)の場合のみとなるとき、\(\{e_n\}_n\)は完全であるといいます。

さて、場の変数\(\psi\)とその共役な運動量\(\pi\)があり、場の状態はこの２つによって完全に同定されるものでした。
場の始状態を\(|\psi_i\rangle=|\psi(t_i,x)\rangle,\ |\pi_i\rangle=|\pi(t_i,x)\rangle \)、終状態を\(|\psi_f\rangle=|\psi(t_f,x)\rangle,\ |\pi_f\rangle| = \pi(t_f,x)\rangle\)とします。始状態から週状態にいたる確率\(\left \langle \psi_f(t_f,x)|\psi_i(t_i,x) \right \rangle\)は
\[
\left \langle \psi_f(t_f,x)\big |\psi_i(t_i,x) \right \rangle
=\langle \psi_f(x) |\exp\left(\frac{iH(t_f-t_i)}{\hbar}\right) \left|\psi_i(x)\right\rangle \tag{1}
\]

とかけます。冗長なので\(\exp\left(\frac{iH(t_f-t_i)}{\hbar}\right) \equiv U(t_f,t_i)\)とおきます。
さらに区間\([t_i,t_f]\)をN等分に分割します。つまり\(t_i =t_0 < t_1 < …<t_j< …<t_N=t_f\)とし、\(t_j=t_0+\frac{(t_f-t_i)}{N}\times j \equiv t_0+\Delta t \times j\)とします。すると(1)は\(U\)のユニタリ性より
\[
(1)=\langle \psi_f(x) |U(t_N,t_{N-1})…U(t_{j+1},t_j)…U(t_1,t_0) \left|\psi_i(x)\right\rangle \tag{2}
\]
とできます。
(2)の式で各Uの間に完全性条件\( \int d\psi_{t_j} |\psi_{t_j} \rangle \langle \psi_{t_j} | = 1\)をはさみこみます。すると

\[
(2) = \langle \psi_f(x) |
\prod_{j=1}^{N-1}\left( \int d\psi_{t_j}\langle \psi_{t_{j+1}}(x) | U(t_{j+1},t_{j}) |
\psi _{t_j}(x)\rangle \right)
|\psi_i(x)\rangle \tag{3}
\]

(3)のブラケットの中に注目します。\(\langle \psi_{t_{j+1}} |\)と\(U(t_{j+1},t_{j})\)の間に共役運動量の完全性条件\(\int d\pi_{t_j}|\pi_{t_j}\rangle \langle \pi_{t_j} | =1\)を挟みます。記号が煩雑なため、\(t_j\)を単純に\(j\)と表記します。すると
\[
\langle \psi_{j+1}(x) | U({j+1},{j}) |\psi_j(x)\rangle
=\int d\pi_j \langle \psi_{j+1}(x) | \pi_j\rangle \langle \pi_j |U(j+1,j) |\psi _{j}(x)\rangle \tag{4}
\]

さて、\(U\)の中の\(H\)ですが、一般に\(\psi,\pi\)の関数でした。物理系を記述するハミルトニアン\(H\)において、常に\(\pi\)を\(\psi\)の左側に寄せることが可能なので、
\[
\langle \pi_j | H(\psi ,\pi) | \psi_j \rangle= H(\psi,\pi) \langle \pi_j | \psi_j \rangle
\]
とでき、このとき右辺のHは演算子ではなく、通常の数になります。上記と、\(U=\exp iHt/\hbar\)であったので、\(H\)の無限和で表現できることを使うと
\[
\langle \pi_j |U(j+1,j) |\psi _{j}(x)\rangle = U(j+1,j) \langle \pi_j |\psi _{j}(x)\rangle
\]
とできます。\(\langle \pi_j |\psi _{j}\rangle\)は平面波を表すので、
\[
\langle \pi_j |\psi _{j}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp\left(-\frac{i\pi_j\psi_j}{\hbar} \right)
\]
さらに
\[
\langle \pi_j |\psi _{j+1}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp\left(-\frac{i\pi_j\psi_{j+1}}{\hbar} \right)
\]
であるので、(4)式は
\[
(4)右辺の積分の中身 =U(j+1,j)\langle \psi_{j+1}|\pi_j\rangle \langle \pi_j |\psi _{j}\rangle\\
=\frac{1}{2\pi\hbar}\exp\frac{-iH\Delta t}{\hbar } \exp\frac{i\pi_j\psi_{j+1}}{\hbar}\exp\frac{-i\pi_j\psi_j}{\hbar}\\
=\frac{1}{2\pi\hbar}\exp\frac{i}{\hbar} \left\{ \pi_j (\psi_{j+1}-\psi_j)-H \Delta t \right\} \\
\rightarrow \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\frac{i}{\hbar} \left\{ \pi_j \partial_t\psi_j-H \right\}dt \ (\Delta t \rightarrow dt)
\]

したがって、以上をまとめると
\[
\left \langle \psi_f | \psi_i \right \rangle
=\prod_j \int d\pi_j d\psi_j \exp \frac{i}{\hbar}\left( \int d^4x \mathscr{L}(\psi,\partial_\mu\psi)\right)
\\
=\int D\pi D\psi \exp \frac{i}{\hbar}\left( \int d^4x \mathscr{L}(\psi,\partial_\mu\psi)\right)
\]
となり、加重平均の形が上記の形になることがわかります。

最後まで読んでくださりありがとうございます。
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