サラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事５

さて、前々回、前回から経路積分

\[
\int D\psi \exp \left\{ \frac{i}{\hbar} \int d^4x \mathscr{L}(\psi,\partial_\mu \psi) \right\} \tag{1}
\]

という、連続無限個の積分変数で積分を実行する、えぐめの荒技を使って、量子化を実施しました。

ここで１点気になる点として、そもそも概念的には良くても、実用的に(1)式を計算できるのか、という点です。

結論からいうと、可算個の積分変数で積分を実行し、連続極限をとることで、計算できる場合があります。

一般的に、\(\psi\)をヒルベルト空間の元とし、Aをヒルベルト空間上の自己共役作用素とします。
※自己共役作用素のざっくり説明は、ヒルベルト空間の任意の元\(\psi,\varphi\)に対して、\(\langle A\psi | \varphi \rangle =\langle \psi | A\varphi \rangle \)となる線型作用素のことを言います。もう少し厳密には上記はエルミート作用素で、エルミート作用素\(A\)の定義域がヒルベルト空間において稠密に定義され、かつその対称作用素\(A^*\)の定義域と等しいとき\(A\)を自己共役作用素といいます。
自己共役作用素を設定する理由は、量子論において物理量は自己共役作用素で表される、という原理or要請によるものです。物理量は観測されるべき量であり、実数である必要がありますが、自己共役作用素のスペクトルは実数になるので、物理量が可観測であるための十分条件が自己共役であること、になるのです。

いささか脱線しました。上記を仮定すると、
\[
\int D\psi \exp \left\{ -\frac{i}{2}\int d^4xd^4y \ \psi(x) A \psi(y) \right\} \propto \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Det} A}} \tag{2}
\]
が成立します。ここで\(\mathrm{Det}\)は汎関数行列式と言われるもので、ざっくりいうと行列式の無限次元版に相当する量です。これをさっと見ていきましょう。

ヒルベルト空間の完全正規直交系を\(\{|n\rangle \}_n\)とおくと、Aは自己共役作用素であるからスペクトル分解でき、
\[
A=\sum_n \lambda_n | n\rangle \langle n |
\]
とします。またヒルベルト空間の任意の元\(|\psi\rangle \)は\(\{|n\rangle \}_n\)の線型結合で表せます：
\[
|\psi\rangle = \sum_{n}c_n |n\rangle
\]
したがって、
\[
A |\psi\rangle = \sum_n \lambda_n | n\rangle \langle n |\sum_{m}c_m |m\rangle
=\sum_n\sum_m \lambda_n c_m \langle n | m \rangle | n\rangle \\
=\sum_n\sum_m \lambda_n c_m \delta_{n,m} | n\rangle = \sum_n \lambda_n c_n |n\rangle
\]
ゆえに
\[
\langle \psi | A |\psi\rangle = \sum_k c_k^{*} \langle k |\sum_n \lambda_n c_n |n\rangle \\
=\sum_n \sum_k \lambda_n c_k^{*} c_n \delta_{n,k}
=\sum_n \lambda_n\left| c_n \right|^2
\]
となります。

\(\psi(x)\)を連続固有関数\(|x\rangle \)で表現した状態ベクトル、すなわち \(\psi(x)=\langle x | \psi \rangle \)とすると、\(\int d^4x |x\rangle \langle x | = 1\)が成り立つので、
\[
\int d^4xd^4y \ \psi(x) A \psi(y) = \int d^4x d^4y \langle\psi |x\rangle\langle x| A | y\rangle \langle y | \psi \rangle\\
=\langle\psi | A | \psi \rangle
\]
とできます。また\(\int D\psi\)はとりうる\(\psi\)すべてを積分変数にするものでしたが、\(\psi\)は\(x\)の関数であったので、\(x\)の動く範囲で決まる、と考えられます。したがって\(x\)を\(x_1,x_2,…\)と分割すると、やや乱暴ですが、
\[
\int D\psi = \prod_{\psi\in \Psi} \int d\psi=\prod_{j} \int d\psi(x_j) \\
=\prod_{j} \int d\langle x_j |\psi\rangle
= \prod_{j} \int d\left(\sum_n c_n\langle x_j | n \rangle \right) \\
= \prod_{j} \int dc_j
\]
とできます。ゆえに
\[
(2)の左辺 = \prod_{j} \int dc_j \exp \left\{-\frac{i}{2} \sum_j \lambda_j \left| c_j\right|^2 \right\}
\propto \frac{1}{\sqrt{\prod_j \lambda_j}}
\]
が成り立ちます。上記の最後の変形は逐次ガウス・フレネル積分の公式\(\int dx \exp \left(-i\alpha x^2\right) = \sqrt{\pi/2i\alpha}\)を各\(c_i\)に対して実行することで得られます。

行列式は固有値の積で表せることのアナロジーから、一般の作用素に対しても\(\mathrm{Det}A=\prod_j \lambda_j\)が成立します。以上から(2)が成り立つことがわかりました。
このようにして有限な状況で計算して、極限をとることで、特殊な状況下では計算することが可能となります。数学的にはかなり微妙というかあれな感じではありますが、物理学は自然科学なので、基本要請から演繹できる理論があって、計算できて、予言能力があり実験値とあえばそれでOK、という立場なので問題ないということにします。

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