現代数学への招待-解析学その２-

さて今回は関数解析学から紹介していきます。

上記図の注意点はこちらを参照ください。

• 関数解析学
  その名のとおり、「関数」を対象に解析学を行う分野です。最近はあまり聞きませんが、位相解析とも言われていました。
  よく「無限次元の線形代数」と言われますが、これは次の理由によるものです。例えば閉区間\([0,1]\)における連続関数全体の集合を考えます。この集合の元\(f,g\)について、\(a,b\)を実数として、\((af+bg)(x)=af(x)+bg(x)\)が成り立つとすると、これは線型空間(ベクトル空間ともいう)になります。そして任意の連続関数はフーリエ変換より、\(f(x)=\sum_n a_n e^{inx}\)と表現できますが、この\(\{e^{inx}\}_n\equiv \{v_n\}_n\)は線型独立性(\(a_1v_1+…+a_nv_n+…=0\)ならば、\(a_1=…=a_n=…=0\))と全域性(線型空間の任意の元は基底\(\{v_n\}_n\)の線型結合で表せる)を満たすことから、線型空間の基底となります。この基底\(\{v_n\}_n\)は無限個あるので無限次元となる、という意味合いです。
  さて関数解析学では、線型空間に特殊な位相を課す空間が舞台となります。そのひとつが「バナッハ空間」です。バナッハ空間の場合、位相に完備なノルムを設定します。完備とはコーシー列が収束し、収束先も同じ線型空間内に収まることを意味する用語です。例えば、閉区間\(I=[0,1]\)における関数全体の線型空間を考えます。ノルムに\(\|f\|\equiv \sup_{x\in I} f(x)\)を選べば、\(\|f\|\)は完備となりバナッハ空間になります。
  線型空間に完備な内積が定義されている場合、これはヒルベルト空間になります。内積が定義されれば、内積から誘導されるノルム\(\sqrt{\langle f ,f\rangle}\)が自然に定義できます。そのためヒルベルト空間はバナッハ空間になります。
  
  完備な内積をもつヒルベルト空間は非常に豊かな構造をもつ空間となります。ヒルベルト空間からヒルベルト空間に移す写像で線型であるものを線型作用素と呼びます。物理では演算子と読んだりします。
  線型代数において行列の固有値という概念がありましたが、ヒルベルト空間上の線型作用素の場合は「スペクトル」という概念に拡張されます。線型代数の固有値問題は、\(A\)を行列、\(f\)をベクトルとして、\(Af = \lambda f\)が成り立つ\(\lambda\)を調べるものですが、\(A\)が線型作用素の場合、無限を扱うため、いろいろと考慮する必要があるという感じです。線型作用素が有界か非有界かでさらに分けることができますが、非有界の場合はさらに扱いが厄介です。
  量子力学を数学的に厳密に扱うには、非有界線型作用素のスペクトル解析の知識が必須になります。
  
  ルベーグ積分で測度空間を少し紹介しましたが、測度空間\((\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\mu)\)上の可積分な関数全体の集合も考えることができます。これを\(L^p(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\mu)\)と表します。\(p\)は\(\int |f(x)|^p d\mu(x) < \infty\)を意味しますが、ノルムを\(\left[\int \left|f(x)\right|^p d\mu(x)\right]^{1/p}\)とすると、\(L^p(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\mu)\)はバナッハ空間になります。さらに\(p=2\)のときはヒルベルト空間になります。
  
  物理学や工学に変分法がありますが、これは数学では汎関数微分と呼ばれます。ざっくりいうと、関数全体の集合は連続ですから、いわゆる「微分」を定義できます。この「微分」が汎関数微分となります。またフーリエ解析を厳密に扱うにも関数解析の知識が必要になります。最近では機械学習のカーネル法の理論的基盤に関数解析が使われています。
  
  このように関数解析は範囲が非常に広い分野になります。
  
  
• 作用素環論
  ヒルベルト空間上の線型作用素全体の集合に、エルミート共役を一般化したような演算(対合と呼ぶらしい)と作用素の位相が定義された空間を作用素環といいますが、それを調べる分野です。
  雰囲気的には、線型代数でててくる行列全体の集合を考えると、この行列の集合の元\(A,B\)は和\(A+B\)と積\(AB\)は再び行列の集合の元となり、閉じてます。しかし行列の積は\(AB\neq BA\)なので非可換となります。行列は有限次元でしたが、この無限次元版の作用素全体の集合、作用素環の場合はどのような性質を持つかを調べる、というようなイメージです。
  作用素環には大きく分けて２種類あり、C*環とノイマン環です。C*環は作用素のノルム位相をいれ、ノイマン環は強位相(もしくは弱位相)をいれます。ノルム位相に関して収束する場合は、強位相or弱位相では必ず収束するのですが、弱い位相でも閉じている方が強い条件のため、\((ノイマン環)\subset (C^*環)\)となります。
  
  この辺に来ると、もはや解析学だけに限らず、代数学や幾何学の知識も必要で、実際それらの専門の人とも活発に交流があるようです。
  具体的には非可換幾何学と呼ばれる分野や、表現論などです。
  また現代物理学、特に場の量子論や量子統計力学の数理物理的アプローチに深い関係があります。
  
  すみません、作用素環についてはそこまで詳しくないので、、このあたりにします。
  
  
• 偏微分方程式論
  偏微分方程式の解を探す分野です。常微分方程式とは異なり、独立変数が複数あるため、格段に難しくなります。
  未知の偏微分方程式に遭遇した時、そもそも厳密解はあるのか、厳密解は得られないにしても近似解は存在するかなど綿密に調べる必要があります。そんなときいくつか方法があるのですが、常套手段のひとつが関数解析学を用いる手法です。
  微分可能な関数全体の空間から近い解を探すようなイメージです。解は関数全体といっても微分可能な関数であるため、位相に微分作用素を取り込む形となります。具体的に言いますと、\(D^s\equiv \partial_{x_1}^{s_1}…..\partial_{x_d}^{s_d}\)として、ノルムを\(\| f\|= \left[\sum_{s} \int |D^s f|^p dx \right]^{1/p}\)と定義するとこの空間はバナッハ空間になります。
  ※厳密には\(D^s\)の\(\partial_{x_i}\)は普通の微分ではなく、やや条件を緩めた微分「弱微分」で、超関数の文脈で定義されます。
  特に\(p=2\)のときはヒルベルト空間になります。そして偏微分方程式を作用素の方程式とみることで、関数解析の手法が使えるようになる、といった感じになります。
  この対応関係は量子力学におけるシュレディンガー方程式とハイゼンベルグの行列力学の関係性と同じになります。というかこれらを解析するために関数解析が発展したという歴史があります。
  
  偏微分微分方程式論について、少し紹介しました。ちなみに解の存在とかとかの数学的な議論の話をしましたが、腕力でゴリゴリ進める力も必要になってきます。実用上解が存在することがわかっても、どんな解かが分からなければ意味ないので。数学的な綿密さとゴリゴリの計算力どちらも必要な分野です。(まぁそれは偏微分方程式論に限った話ではないですけど。)

今回は関数解析/作用素環/偏微分方程式について紹介してみました。作用素環は興味はあるもののなかなか勉強できる時間がなく、、いつかは挑戦してみたい分野です。

最後まで読んでくださりありがとうございます。
質問等はコメント欄かお問い合わせにてよろしくおねがいいたします。