こんにちは、けんじです。
今回は代数学について紹介します。
- 群・環・体
群論は数学だけでなく、物理や化学でも使われる重要な分野です。
集合に何かしらの演算、たとえば足し算か掛け算などが定義されたものを群といいますが、群が代数構造の最も基本的な構造になります。
物性の結晶の構造解析や分子の立体構造の表現、ゲージ理論の分類など様々な分野で使われています。
群の定義は、集合Gがあってそれ上で写像\(\odot : G\times G \ni a \times b \rightarrow a \odot b \in G\)が存在し、\(\odot\)に関して、1)結合則が成り立ち、2)単位元が存在し、3)逆元が存在するものをいいます。自然数全体の集合は加法や乗法に関して、群をなします。
環は整数の性質を抽象化したもので、群に対してさらに条件を付与した集合のことで、ざっくりは加法と乗法に関して群をなし、分配法則を満たすものです。
環論では新しい概念が登場します：イデアル、整域、(環上の)加群などです。
イデアルはざっくり偶数全体や３の倍数全体などを一般化したものです。また有限多項式の全体もイデアルをなします。整域は\(ab=0\)ならば\(a=0 \ \mathrm{ or } \ b=0\)が成立する環のことです。
こうみると直感的に当たり前の性質のように見えますが、それらを整理することで、直感的でない集合を扱えるようになるのです。さらに(環上の)加群ですが、これは線型空間ないしベクトル空間をさらに抽象化した集合です。
体は環にさらに0を除いた割り算に対して閉じている集合です。計算科学の符号理論などでみかける有限体がありますが、これは体の一種で、集合の濃度が有限である場合をいいます。
群、環、体の包含関係は、群\(\supset\)環\(\supset\)体となります。 - ガロア理論
代数方程式を群/環/体の概念を用いて調べる理論です。
恥ずかしながらカロア理論はほとんど勉強したことがないので。。いずれ更新します。 - 圏論
代数学に入るか微妙な分野ですが、、、便宜上代数学にいれてます。
圏論では、何かしらの構造をもった「対象」と、その関係を表す「射」が中心的概念となります。
圏は「対象」と「射」をひとまとめにしたものになります。例えば、対象に集合、射に写像を選べば、「集合の圏」、対象に位相空間、射に連続写像を選べば、「位相空間の圏」となります。
さらに対象を圏としたときの射を「関手」と呼びます。つまりざっくりは圏と圏の間の関係性を表すのが関手となるイメージです。
関手を対象とした時の射は「自然変換」と呼びます。これは関手間の関係を表しているイメージです。自然変換が一番深いもので、自然変換を対象としたときの射は特に名前は定義されてません。
圏論はこのようにかなり抽象的な定義のため、数学全体を記述できる力を持っているのですが、現代数学の共通言語となっている集合論とはどこが違っているのでしょうか。
それは出発点が異なります。集合論ではまず集合とその元がありきになります。その集合の各々の元に対して、写像を定義して、集合間の性質を調べるイメージです。
一方圏論では、集合の元にはあまり触れず、集合間の写像に重きをおくイメージです。対象を集合とし、射を写像とする圏は、集合の元にはあまり触れず、あくまで「射」をメインにおき対象間の関係性を重要視するものです。
そのため圏論は数学体系の関係性を調べるのによく使われたりするようです。
最近2020年に数学の共通言語を圏論として、代数/幾何/解析の各々を分野横断的に記した書籍が出ました。その名もブルバキの本と同じ「数学原論」です。非常に興味深く、速攻購入したものの、仕事はプライベートが忙しくなかなか読み進められないです。。もし興味あれば、読んでみてもいいかなと思います。
プログラミング言語のHaskellは圏論をベースに作られたもので、圏論で使われる用語がモロに使われています。
今日はこれぐらいにしておきます。
代数学はあまり把握できてないので、勉強次第アップデートします。
最後まで読んでくださりありがとうございます。
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