数学は学生時代ちゃんと勉強してきてなかったこともあり、独学で勉強してます。
もし数学に興味があってどの本を買おうか迷ってる人の一助になれば幸いです。
- 「集合と位相」をなぜ学ぶのか
数学科の授業ではいきなり集合と位相が始まるので、なんでこんなことを学ぶ必要があるのか、何の役にたつのかがわからないまま抽象的な話がすすみ、多くの数学徒が虐殺される、ということを聞いたことがあります。この本は上記の困難に立ち向かうべく、集合と位相がなぜ必要なのか、どうやって現代数学の基礎になっていったかを重点的に説明しています。そのため、集合/位相の教科書ではなく、本格的に学ぶには他の参考書に頼る必要があります。(このあたりは本書籍のまえがきにも記載があります。)ですが、集合/位相の背景やモチベーション、こころを学ぶにはとても良い本かと思います。
内容としては、実数の連続性、写像、集合の濃度、連続体仮説とすすみ、開集合/閉集合や閉包とすすみ、位相の概念を紹介しています。さらに集合論の発展に関連の深い測度の概念にも触れていきます。
- 新版-集合と位相-そのまま使える答えの書き方
書籍名はあれですが、中身はしっかりしてる系の本です。集合と位相の性質を練習問題を中心にして、証明していきます。現代数学は定義→定理→証明の繰り返しで論理を展開していくのですが、その形式に慣れるのにうってつけです。集合/位相のメインどころはだいたい網羅されているので、この本を周回クリアすれば、集合/位相と、現代数学のスタイルにはかなり慣れるかと思います。
ざっくり中身ですが、集合と写像などの基本事項からはじまります。その後はいきなり位相にはいかず、\(\mathbb{R}^n\)上の距離から始めて、ユークリッド空間、距離空間、位相空間と拡張していきます。
現代数学はおいてほとんどいたるところ集合/位相のことばで書かれているので、この分野をおろそかにすると後で苦労します。集合/位相は現代数学で最初に遭遇する抽象的な分野ですが、結局のところ「慣れ」がモノを言う世界なので、ある程度訓練が必要です。訓練するのにこの書籍は質、量ともに丁度いいかなと個人的には感じます。