サラリーマンが測度論を勝手に解説する無謀な記事４

本日は前回から引き続きルベーグ積分と測度について解説していきます。

前回ルベーグ積分は、$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間として、
$$\int f(x)\mu(dx) = \sum_{i=1}^{\infty} a_i \mu(A_i), \ \{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}\in \mathcal{F}$$
となるのでした。そしてこれは縦が$a_i$、横が$\mu(A_i)$の長方形を足し合わせたものでした。$a_i$は$f$の値ででしたので、そのまま積分の式を解釈すると$f$と$\mu(dx)$の長方形を足し合わせるとも捉えられます。

ではリーマン積分と何が違うのでしょうか。これについて述べたいと思います。

例として以下の図のような関数$g(x)$を見てみます。基本的に前回までの$f(x)$と同じ関数ですが、$x=1/3$だけ外れ値をもつような関数です。

この積分をまずリーマン積分で考えます。$x=1/3$で不連続なので、リーマン積分で扱えないのですが、無理やり求めるとすれば
$$\int_0^{1/3-\varepsilon}g(x)dx + \int_{1/3+\varepsilon}^1 g(x)dx$$
として、$\varepsilon\rightarrow 0$の極限をとる形になります。その結果、$\int f(x)dx$と等しくなります。

一方ルベーグ積分は、というと定義から瞬殺で
$$\int g(x) \mu(dx) = \int f(x)\mu(dx)$$
が言えます。なぜなら$x=1/3$は可算集合のため厳密に$\mu(x=1/3) = 0$となり、積分に一切寄与しないからです。

さて次に以下のような関数を考えてみます。

式で書くと
$$h(x) = \left\{\begin{matrix} f(x), \ x \in \{[0,1]内の無理数\}\\ 0,\ x\in \{[0,1]内の有理数\} \ \end{matrix}\right.$$
となります。
この関数のリーマン積分ですが、区間$[0,1]$に有理数は稠密に存在するので、いたるところ不連続になってしまいます。そのため積分が定義できないのです。
※$A\subset X$が$X$において稠密であるとは、$x\in X$をとると$x$は$A$の元そのものか、もしくは$x$のいくらでも近くに$A$の元が存在する、という意味です。
上の例でいえば、ある$x\in [0,1]$をとると、$x$のいくらでも近くに有理数が存在するというものです。

ルベーグ積分を用いると上記$h(x)$も積分可能となります。有理数全体の集合は可算集合でしたから、測度$\mu(x|xは有理数)=0$となるので、
$$\int h(x) \mu(dx) = \int f(x)\mu(dx)$$
が成立します。

以上の概念を定義にしてまとめます。

DEF.7 零集合
$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする。$\mu(A)=0$となる可測集合$A\in\mathcal{F}$を零集合という。
ある性質$P$が零集合以外で成り立つ場合、ほとんどいたるところで$P$が成立する、といい、$P \ a.e.$と書く。a.e. はalmost everywhereの略。

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とし、$f:X\rightarrow Y$,$g:X\rightarrow Y$を可測関数とする。零集合を除いて、
$$\int f(x)\mu(dx) = \int g(x) \mu(dx)$$
が成り立つとき、$f(x) = g(x) \ a. e.$と表す。
これは同値関係$\sim$と捉えることができ、その同値類の代表元を$[f]$と表す。

上記の同値関係は可測関数全体の集合の考え方につながり、$L^p$空間と呼ばれる関数空間につながっていきます。

本日はここまでにします。

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