サラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事１３

本日は、バナッハ空間の共役空間とハーン・バナッハの定理について、単なるジコマンで勝手に解説します。今回も書評で紹介した本を参考にしています。

1)背景

こちらで少し紹介しましたが、バナッハ空間\(X\)の共役空間(もしくは双対空間)\(X^*\)は、\(B(X,\mathbb{K})\)、すなわち線型汎関数全体となるものでした。
ヒルベルト空間の場合、リースの表現定理により、その共役空間は元の空間と同一視することができました。一般のバナッハ空間の場合は具体的にその共役空間を与えるような定理は存在しません。

ただ、\(X\)全体ではなく、\(X\)の有限次元の部分集合に対して、連続な線型汎関数を作ることは可能で、それを\(X\)全体に拡張することができます。拡張した線型汎関数の存在を保証するのがハーン・バナッハの拡張定理です。
※あくまで存在の証明であって、具体的な形を与えるものではないのが注意すべきところです。

2)定理の内容

まずはセミノルムを定義します。

DEF.21 セミノルム
\(X\)を係数体\(\mathbb{K}\)上の線型空間とする。写像\(\ p:X\ni u\rightarrow p(u)\in \mathbb{R}\)が以下の性質を満たす時、これをセミノルムという。
1)半正定値性: \(\ p(u) \geq 0 ,\ \ u \in X \)
2)同次性: \(\ p(\alpha u)=|\alpha | p(u),\ \ \alpha \in \mathbb{K},\ u\in X \)
3)三角不等式: \(\ p(u+v)\leq p(u)+p(v),\ \ u,v\in X\)

定義から明らかですが、セミノルムはノルムの条件を緩めた汎関数になります。

セミノルムを用いて、ハーン・バナッハの定理を記述することができます。

THM.8 ハーン・バナッハの拡張定理
\(X\)を係数体\(\mathbb{K}\)上の線型空間とし、\(p:X\rightarrow \mathbb{K}\)を\(X\)上のセミノルムとする。線型部分空間\(L\subset X \)上の線型汎関数\(\ f_0:L\rightarrow \mathbb{K}\)が\[ |f_0(u)|\leq p(u),\ \ \ \forall u\in L \]をみたすとき、\[ |f(u)|\leq p(u),\ \ \ \forall u\in X \] \[ f(u) = f_0(u),\ \ \ \forall u\in L \]をみたすような\(X\)上の線形汎関数\( \ f:X\rightarrow \mathbb{K}\)が存在する。

今回も詳細は割愛しますが、証明にツォルンの補題が使われます。ツォルンの補題はいわゆる選択公理と同値になる命題です。選択公理は、ルベーグ非可測集合の存在も導くことができる公理でした。

3)共役空間の例

一般のバナッハ空間にもハーン・バナッハの拡張定理により、共役空間の存在を保証されているわけですが、では具体的にどのようなものがあるかについて、以前挙げたバナッハ空間を用いて少し紹介します。

・\(L^p\)空間

\(L^p\)空間は、測度空間\( (X,\mathcal{F},\mu) \)上の可測関数全体からなる集合で、 ノルムを\[
\| f \|\equiv \left( \int_X |f(x)|^p \mu(dx) \right)^{1/p}
\]とするバナッハ空間のことでした。この共役空間を考えてみます。

\(p,q\)は、\(1\leq p \leq \infty\)、\(1/p+1/q=1\)をみたすとします。このとき\(L^q(X)\)が共役空間になります。実際\( \ \varphi \in L^{p*} \)を、\[
\varphi (f) = \int_X f(x) g(x)\mu(dx) ,\ f\in L^p,\ g\in L^{q}
\]と定義すると、\[
\|\varphi\| = \|g\|
\]を示すことができます。すなわち\(\ g\)が決めれば\(\ \varphi\)が決まるので、\(L^{p*}\)と\(L^q\)を同一視できることになります。

・\(C([a,b])^*\)

\(C([a,b])\)は、区間\( [a,b]\)上の連続関数全体の集合で、ノルムを\[
\|f\|=\sup_{x\in [a,b]}|f(x)|
\]とするバナッハ空間でした。
その共役空間\(C([a,b])^*\)を考えます。まず\([a,b]\)上の有界変動関数全体\(NBV[a,b]\)を\[
NBV[a,b] = \left\{ \rho:[a,b]\rightarrow \mathbb{K} \mid \rho \mathrm{\ is \ bounded \ variation \ and \ right \ continuous \ in \ }[a,b] \mathrm{\ and \ } \rho(a) =0\right\}
\]と定義します。すると\(NBV[a,b]\)は全変動をノルムとするバナッハ空間になります：\[
\|\rho\| = \sup_{\Delta}\sum_{k=0}^{n-1}\left|\rho(t_{k+1})-\rho(t_k) \right|
\]ただし、\(\Delta\)は\([a,b]\)の任意の分割を意味します。

さらに線型汎関数\(\ \varphi:C([a,b])\ni f \rightarrow \varphi(f)\in \mathbb{K}\)を、\[
\varphi(f) = \int_a^b f(x)\rho(dx)
\]というルベーグ・スティルチェス積分で定義すると、\( \varphi\ \)の全体は\[
\|\varphi\| = \|\rho\|
\]をノルムとするバナッハ空間\(C([a,b])^*\)になります。さらに\( \varphi\)は\(\rho\)によって定まるので、結局\(C([a,b])^*\)と\(NBV[a,b]\)を同一視することができます。すなわち\(C([a,b])\)の共役空間は\(NBV[a,b]\)となります。

4)その他小ネタなど

バナッハ空間\(X\)の共役空間\(X^*\)に対して、さらに共役をとった空間\((X^*)^*=X^{**}\)というものを考えることができます。これを第２共役空間などといったりします。一般に\[
X^{**}\supset X
\]が成立します。
また\(X,X^*\)の双線型形式をヒルベルト空間の内積と同じノリで表記することがあります。写像\(\ \langle \cdot,\cdot \rangle: X\times X^*\ni x \times f \rightarrow \langle x,f \rangle\in \mathbb{K}\)を\[
\langle x,f \rangle = f(x)
\]と定義する感じです。これを用いると線型作用素\(A\in B(X)\)の共役作用素\(A^*\)を\[
\langle Ax,f \rangle =\langle x,A^* f \rangle
\]をみたす\(A^*\)と定義でき、ヒルベルト空間の共役作用素と同じ形式になってわかりやすいかと思います。

本日はここまでにします。

最後まで読んでいただきありがとうございます。
質問等はコメント欄かお問い合わせにてよろしくお願いします。