こんにちは。本日は前回の確率過程に続き、確率過程の代表例の１つであるブラウン運動について勝手に解説していきます。
DEF.10 ウィーナー過程
確率空間 \((\Omega,\mathcal{F},P)\) 上の確率過程\[
W_t:\Omega \times [a,b] \ni \omega \times t \rightarrow W_t(\omega) \in \mathbb{R}
\]が以下の性質をみたすとき、\(W_t\) をウィーナー過程という。
・\(W_a=0\) がほとんどいたるところ成り立つ
・独立増分性：\(\forall a\leq t_1
・見本経路 \(t\mapsto W_t(\omega)\) はほとんどいたるところ連続である
このとき \(\forall t,s\in [a,b]\) に対する \(W_t-W_s\) を増分過程という。また \(\omega\in\Omega\) を固定して、\(W_t(\omega)\) を \(t\) の関数とみたとき、これを見本経路という。
THM.7 ウィーナー過程の性質
確率空間 \((\Omega,\mathcal{F},P)\) 上のウィーナー過程を \(W_t(\omega)\) とする。定義より \(\forall t,s \in [a,b]\)（\(t>s\)）に対して、
・増分 \(W_t-W_s\) の期待値は \(0\)、分散は \(t-s\) である。
・見本経路は連続であるが、いたるところ微分不可能である。
微分不可能性について直感的な話をしておきます。微分の定義と標準偏差は \(\sqrt{|t-s|}\) であることから\[ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{W_{t+h}-W_t}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{O(\sqrt{h})}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}O\left(\frac{1}{\sqrt{h}}\right)\rightarrow\infty \]となるため、固定した \(t\) では微分が存在しないと推測できます。もっとも、これは「各点ごとに」微分不可能であることの直感にすぎず、実際に主張したいのは「ほとんどいたるところ、すべての \(t\) で同時に微分不可能である」というより強い事実（Paley–Wiener–Zygmundの定理）であることに注意してください。厳密には（レヴィの一様連続率の定理）、ほとんどいたるところ \(\omega\) について、ある \(c>0\) が存在して、\(|t-s|\) が十分小さい範囲（\(|t-s|<1\)）で\[ |W_t(\omega)-W_s(\omega)| \leq c\sqrt{2|t-s|\log\frac{1}{|t-s|}} \]と評価されます。
そろそろ確率積分の話に入ります。まずはウィーナー積分です。
THM.8 ウィーナー積分
\(\mu\) をルベーグ測度とし、\(L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) を測度空間 \((\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) 上の二乗積分可能な関数全体がなす空間とする。
また確率空間 \((\Omega,\mathcal{F},P)\) 上のウィーナー過程を \(W_t(\omega),t\in\mathbb{R}\) とし、二乗平均可能な確率変数全体がなすヒルベルト空間を \(\mathscr{H}=L^2(\Omega,\mathcal{F},P)\) とする。区間 \([a,b]\) の指標関数を \(\chi_{[a,b]}\) とすれば\[
I:L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu) \ni f \rightarrow I(f) \in \mathscr{H}
\\ I(\chi_{[a,b]})=W_b-W_a
\]なる等長作用素が一意に存在する。この \(I(f)\) を具体的に\[
I(f)=\int_a^b f(t)dW_t
\]と書き、これをウィーナー積分とよぶ。
等長作用素とは、ざっくりいうと名前の通り長さを変えない線型作用素のことで、数学的にはノルムが定義された空間において \(\forall x,y\in\mathscr{H}\) に対して \(\left \| x-y \right \|=\left \| I(x)-I(y) \right \|\) が成り立つ作用素 \(I\) のことです。
証明.
まず \(f\in L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) が単関数の場合\[
f= \sum_{i=1}^{n}c_i\chi_{[a_i,b_i]}
\]であるとき、写像 \(I:f\rightarrow I(f)\) を\[
I(f)=\sum_{i=1}^{n}c_i\left(W_{b_i}-W_{a_i}\right)
\]とする。すると \(g \in L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) についても\[
g= \sum_{i=1}^{n}d_i\chi_{[p_i,q_i]}
\\ I(g)=\sum_{i=1}^{n}d_i\left(W_{q_i}-W_{p_i}\right)
\]とかけるので、それらの積の期待値 \(E[I(f)I(g)]\) は\[
E\left[I\left(f \right )I\left(g \right ) \right ]
=E\left[ \sum_{i=1}^{n}c_i\left(W_{b_i}-W_{a_i}\right)\sum_{j=1}^{n}d_j\left(W_{q_j}-W_{p_j}\right)\right ]
\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}c_id_j\times E\left[\left( W_{b_i}-W_{a_i}\right)\left( W_{q_j}-W_{p_j}\right) \right ]
\]となる。ここで \(E\left[\left( W_{b_i}-W_{a_i}\right)\left( W_{q_j}-W_{p_j}\right) \right ]\) であるが、確率変数 \(\left( W_{b_i}-W_{a_i}\right)\) と \(\left( W_{q_j}-W_{p_j}\right)\) はそれぞれ期待値0、分散が \(|b_i-a_i|,|q_j-p_j|\) の正規分布に従うから、\[
E\left[I\left(f \right )I\left(g \right ) \right ]
=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}c_id_j\times \mu\left([a_i,b_i]\bigcap[p_j,q_j]\right)
\\=\int_{\mathbb{R}}f(t)g(t)\mu(dt)
\]となる。\(E\left[I\left(f \right )I\left(g \right ) \right ]\) は \(\mathscr{H}\) の内積であり、\(\int_{\mathbb{R}}f(t)g(t)\mu(dt)\) は \(L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) の内積であるから、\[
\left \langle I(f) \mid I(g) \right \rangle = \left \langle f \mid g \right \rangle
\]が成り立つ。
上記は単関数の場合であったが、単関数全体の集合は \(L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) において稠密である。そのゆえ \(I\) は一意に \(L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) へ拡張することができるため、題意は成立する。∎
稠密について補足します。直観的には位相空間 \(X\) の部分集合を \(A\) として、\(A\) が \(X\) において稠密であるとは、\(X\) の元 \(x\in X\) は \(a\in A\) によって、任意の精度で近似できる、もしくはそれ自身である、ということです。
例として \(X=\) 実数、\(A=\) 有理数とするとよいでしょう。任意の実数は有理数で近似することができます。例えば \(\sqrt{2}=1.41421356237\ldots\) や \(\pi = 3.1415926\ldots\) と小数、すなわち有理数で近似して表すことが多いですが、これが有理数が実数において稠密であるため可能なのです。
THM.9 ウィーナー積分の性質
\(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) とし、\(f,g\in L^2(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) とする。\(a\leq b \leq c\) として、以下が成り立つ。\[
\int_a^c f(t)dW_t = \int_a^bf(t)dW_t + \int_b^cf(t)dW_t
\\ \int_a^b\left( \alpha f(t)+ \beta g(t) \right)dW_t =\alpha \int_a^b f(t)dW_t + \beta\int_a^b g(t)dW_t
\]
\(I(f)=\int_a^bf(t)dW_t\) の期待値と分散は\[ E\left[I(f)\right]=E\left[\int_a^b f(t)dW_t \right]=0 \\ V[I(f)]=E[I(f)^2]-E[I(f)]^2=\left \| f\right \|^2=\left \langle f\mid f \right \rangle=\int f(t)^2dt \]であるから、これを\[ E[dW_t]=0 \\ E[dW_t^2]=dt \]のように略記することも多いです。
THM.10 ウィーナー積分の部分積分
\(f\in L^2([a,b],\mathcal{B}([a,b]),\mu)\) で、微分可能かつ導関数も連続であるならば以下が成り立つ。\[
\int_a^bf(t)dW_t=-\int_a^b{f}'(t)W_tdt + f(b)W_b-f(a)W_a
\]
証明.
まず存在に関して言及すると、ウィーナー過程 \(W\) の見本経路はほとんどいたるところ連続であり、\(f’\) も連続であるから、\(\int_a^b{f}'(t)W_tdt\) についてもほとんどいたるところ通常のリーマン積分として存在する。
次に等式そのものを示す。区間 \([a,b]\) の分割\[
\pi_n:\ a=t_0^n
\(|\pi_n|\rightarrow 0\) のとき、\(f\) の連続性より \(f(t_{k_n-1}^n)\rightarrow f(b)\) であり、また見本経路の連続性と \(f’\) の連続性から、\[
\sum_{i=1}^{k_n-1}W_{t_i^n}\left(f(t_i^n)-f(t_{i-1}^n)\right)
\]は \(W_tf'(t)\) のリーマン和として、ほとんどいたるところ \(\int_a^bf'(t)W_tdt\) に収束する。したがって、ほとんどいたるところ（各見本経路ごとに）\[
I(f_n)\rightarrow f(b)W_b-f(a)W_a-\int_a^bf'(t)W_tdt \quad (n\rightarrow\infty)
\]となる。
\(I(f_n)\) は \(L^2(\Omega)\) の意味で \(I(f)\) に収束し、かつほとんどいたるところ上記の値に収束するので、確率変数の極限として両者は一致し、\[
I(f)=f(b)W_b-f(a)W_a-\int_a^bf'(t)W_tdt
\]すなわち\[
\int_a^bf(t)dW_t=-\int_a^b{f}'(t)W_tdt + f(b)W_b-f(a)W_a
\]が成り立つ。∎
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