現代物理学への招待３
こんにちは、今回も前回に引き続き、 について、紹介していきたいと思います。 今回は場の量子論からです。 今回はこれぐらいにしておきます。なるべく深くは触れないようにしましたが、少し難しい部分もあるかもしれません。もしよろしければ以下の記事もご覧ください。 最後まで読んでくださりありがとうございます。質問などはコメント欄かお問い合わせにてよろしくおねがいいたします。
Author: Kenji
現代物理学への招待２
こんにちは、今回も前回に引き続き、 について、紹介していきたいと思います。 量子力学、統計力学、特殊相対論について、紹介していきたいと思います。 上図の注意点はこちらを参照してください。 今回は以上になります。もしよろしければ以下の記事もご覧ください。 最後まで読んでくださりありがとうございます。質問等はコメント欄かお問い合わせにてよろしくおねがいいたします。
現代物理学への招待１
今回は現代物理学について について、私の分かる範囲で説明していきます。 現代物理学は非常に範囲が広く、枚挙にいとまがないのですが、独断と偏見で無理やり１枚にまとめると以下になります。 以下それぞれの分野を少し解説してきましょう。 今回はここまでにします。もしよろしければ以下の記事もご覧ください。 最後まで読んでくださりありがとうございます。質問等はコメント欄かお問い合せにてよろしくおねがいいたします。
数学Ⅲを使った高校物理５
こんにちは、今回は交流電源にコンデンサーを繋いだときの電圧と電流の位相差を求めていきましょう。 数学Ⅲを使った高校物理４と同様、反時計回りを正とし、交流電源を \[V(t) = V_0\sin\omega t\] とします。Qをコンデンサーの電気量、Cを電気容量とすると、電位差は\(Q/C\)と表せます。したがってキルヒホッフ則より、 \[V(t)-\frac{Q}{C} = 0 \tag{1}\] となります。ここで電流は電気量の時間変化の極限で表現できましたから、 \[I= \frac{dQ}{dt}\] となります。(1)の両辺を時間tで微分すると \[\frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}CV(t) = CV_0\omega\cos\omega t \] つまり \[I(t) = CV_0\omega\cos\omega t\] であることがわかります。これをsinで表すと \[I(t) =
数学Ⅲを使った高校物理４
今回は交流回路について解説したいと思います。 高校物理の交流回路の問題で、 を繋いだ時の電流の位相差の公式がありましたが、これを数学Ⅲを使って導いてみます。 0)交流電源と抵抗 その前にまず抵抗のみ繋いだ場合を考えてみましょう。 交流電源はsin波、\(V =V_0\sin\omega t\)とします。反時計回りを正として、キルヒホッフの法則(=閉回路の電位差はゼロ)を用います。抵抗\(R\)に電流\(I\)が流れた時の電圧降下はオームの法則から\(IR\)でしたので、 \[V-IR = 0\] が成り立ちます。したがって、 \[V_0\sin\omega t – IR=0 \Rightarrow I = \frac{V_0}{R}\sin\omega t\] となります。すなわち電圧と電流の位相差は等しくなることがわかります。 1)交流電源とコイル 抵抗の場合と同様、交流電源はsin波、\(V =V_0\sin\omega t\)とします。反時計回りを正とします。 電流Iが流れている時のコイルの電位差\(V_L\)は \[V_L = -L\frac{\Delta
数学Ⅲを使った高校物理４
今回は交流回路について解説したいと思います。 高校物理の交流回路の問題で、 を繋いだ時の電流の位相差の公式がありましたが、これを数学Ⅲを使って導いてみます。 0)交流電源と抵抗 その前にまず抵抗のみ繋いだ場合を考えてみましょう。 交流電源はsin波、\(V =V_0\sin\omega t\)とします。反時計回りを正として、キルヒホッフの法則(=閉回路の電位差はゼロ)を用います。抵抗\(R\)に電流\(I\)が流れた時の電圧降下はオームの法則から\(IR\)でしたので、 \[V-IR = 0\] が成り立ちます。したがって、 \[V_0\sin\omega t – IR=0 \Rightarrow I = \frac{V_0}{R}\sin\omega t\] となります。すなわち電圧と電流の位相差は等しくなることがわかります。 1)交流電源とコイル 抵抗の場合と同様、交流電源はsin波、\(V =V_0\sin\omega t\)とします。反時計回りを正とします。 電流Iが流れている時のコイルの電位差\(V_L\)は \[V_L = -L\frac{\Delta
数学や物理の模試で勉強してても点が取れない理由
こんにちは、Kenjiです。 今回、勉強してても試験、とくに模試で点がとれない、と現役生が嘆き、挫折する話をよく聞くので、私が思うそのひとつの理由について、記載していきたいと思います。 一言でいうと、数学や物理は勉強量と点数が線型の関係にならないからです。 難易度の高い模試になると、回答するのに必要となる知識が多くなります。例として以下の問題を見てみましょう。 本問題は20年くらい前の東大の入試問題なのですが、これを解くとなると少なくとも の知識がないと解けません。どれかひとつ欠けてもダメなのです。 勉強量と得点の関係図にすると以下のようになります。 悲しいことに多くの高校生は青い部分のところで、勉強しても思うように結果が出ず、挫折し数学が嫌いになってしまうのです。一方、点数がなかなか出なくても勉強を続けていると、赤い領域に入り急に点数が伸びる時が来るようになります。継続こそ力なりとはよく言ったものです。 「いまいま点数が取れないのは当然、このままやっていけばいつかは点数取れるようになる」と少し楽観した気分があれば、数学の勉強を継続しやすくなるのではないのでしょうか。 最後まで読んでくださりありがとうございます。質問はコメント欄かお問い合わせにてよろしくお願いいたします。
数学Ⅲを使った高校物理３
数Ⅲを使った高校物理２の最後でb)バネの復元力c)万有引力がマイナスがついたかと思いますが、ここを解説していきます。 まずバネの復元力についてです。以下の図を見てみましょう。 ⅰ)\(x>0\)のとき \(x=0\)を釣り合いの位置として、右向きを正とするx軸をとります。\(x>0\)の場合、バネの復元力はx軸とは逆向きに働きます ⅱ)\(x<0\)のとき このときバネの復元力は正の向きを向いている、つまりプラスであることがわかります。 ⅰ)とⅱ)をまとめると \[\begin{eqnarray}-kx=\begin{cases}-kx & ( x \geq 0 ) \\kx & ( x \lt 0 )\end{cases}\end{eqnarray}\] となります。これが先頭にマイナスがつく理由です。 次に万有引力についてみていきたいと思います。 便宜上、質量M,mをもつ二つの質点をそれぞれM,mという名前にします。バネの復元力の時と同様、x軸を右向きを正とします。質点Mの位置を\(x=0\)とおき、質点mの位置をxとおきます。このとき質点mに働く力を考えます。 万有引力はその名の通り引力が働きますので、上記の図では力の方向は左向き、つまりマイナスとなります。 以上まとめると、 となります。 プラスかマイナスか迷った場合は上記の手順をしっかり踏んでいるか見直してみるといいかと思います。 最後まで読んでくださりありがとうございます。質問等はコメント欄かお問い合わせからおねがいいたします。
数学Ⅲを使った高校物理２
さて今回はエネルギー保存則を運動方程式から導いてみます。 力学的エネルギー保存則は、mを質量、vを速度、V(x)をエネルギーとして、 \[\frac{1}{2}mv^2 + V(x) = 一定\] とかけます。これを運動方程式から導いてみます。 \[m\frac{dv}{dt} = F \] の両辺に\(v\)をかけて \(t\)で積分を実行してみます： \[\int_{t_1}^{t_2} mv\frac{dv}{dt}dt= \int_{t_1}^{t_2}Fvdt \tag{1}\] まず(1)の左辺を見てみましょう。運動量保存則の導出と同様、置換積分の公式 \[\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx = \int_{t_1}^{t_2}f(g(t))\frac{dx}{dt}dt\] の右辺→左辺の順序の適用を考えます。すると \[(1)の左辺 =\int_{t_1}^{t_2} mv\frac{dv}{dt}dt = \int_{v_1}^{v_2}mvdv \] とでき、さらに積分を実行できて、
数学IIIを使った高校物理
ややマニアックですが、数学IIIをつかった高校物理についてお話していきたいと思います。 高校のカリキュラムでは分野横断的な話ができず、どうしても数学は数学に閉じ、物理は物理に閉じ、化学は化学に閉じてしまう。そこが原因で「高校で習う数学はどのように応用されるのだろうか」や「物理や化学は公式を暗記してなんぼ」という話が出てきてしまうひとつの原因ではないかと個人的には考えてます。 したがってそういった垣根を壊す一例をこれから上げていきたいかと思います。 今回は運動方程式から運動量保存則とエネルギー保存則を導いてみます。 運動量保存則は \[mv-mv’=F\Delta t\] で、運動量の変化は力積に等しいというものですが、これを運動方程式から導いてみます。ここでmは質量、aは加速度、Fは受ける力です。 加速度の定義は、速度の時間変化の極限でしたので、 $$a=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}$$ とかけます。したがって運動方程式は $$m\frac{dv}{dt}=F$$ と書くことができます。これを時間で積分することを考えます： \[ \int_{t_1}^{t_2}m\frac{dv}{dt}dt = \int_{t_1}^{t_2}Fdt \tag{1}\] さてまずは左辺を見てみます。これはよく見ると置換積分の公式そのものですね。置換積分の公式は$$\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx = \int_{t_1}^{t_2}f(g(t))\frac{dx}{dt}dt$$でした。ここで としてます。数IIIの積分計算では置換積分公式の左辺→右辺の運用が主となってますが、(1)の左辺の積分では置換積分公式の右辺→左辺と使います。つまり \[\int_{t_1}^{t_2}m\frac{dv}{dt} dt= \int_{v_1}^{v_2}mdv\]