Author: Kenji

さて、前々回、前回から経路積分 \[\int D\psi \exp \left\{ \frac{i}{\hbar} \int d^4x \mathscr{L}(\psi,\partial_\mu \psi) \right\} \tag{1}\] という、連続無限個の積分変数で積分を実行する、えぐめの荒技を使って、量子化を実施しました。 ここで１点気になる点として、そもそも概念的には良くても、実用的に(1)式を計算できるのか、という点です。 結論からいうと、可算個の積分変数で積分を実行し、連続極限をとることで、計算できる場合があります。 一般的に、\(\psi\)をヒルベルト空間の元とし、Aをヒルベルト空間上の自己共役作用素とします。※自己共役作用素のざっくり説明は、ヒルベルト空間の任意の元\(\psi,\varphi\)に対して、\(\langle A\psi | \varphi \rangle =\langle \psi | A\varphi \rangle \)となる線型作用素のことを言います。もう少し厳密には上記はエルミート作用素で、エルミート作用素\(A\)の定義域がヒルベルト空間において稠密に定義され、かつその対称作用素\(A^*\)の定義域と等しいとき\(A\)を自己共役作用素といいます。自己共役作用素を設定する理由は、量子論において物理量は自己共役作用素で表される、という原理or要請によるものです。物理量は観測されるべき量であり、実数である必要がありますが、自己共役作用素のスペクトルは実数になるので、物理量が可観測であるための十分条件が自己共役であること、になるのです。 いささか脱線しました。上記を仮定すると、\[\int D\psi \exp \left\{Continue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事５

前回の投稿で加重平均の係数が\(\exp(iS/\hbar),S=\int d^4x \mathscr{L}\)になることを記載しましたが、ここを掘り下げていきましょう。 正直いうと結構前提知識が必要になってくるので、悩ましいですが、、、結論から先にいうと量子論の公理というか要請の１つ、 「ハミルトニアンが\(H\)である量子系の時間発展はユニタリ作用素\( \{\exp(iHt/\hbar )\}_{t\in\mathbb{R}}\)で記述される。つまり\(t=0\)で\(\varphi\)にある状態は時刻\(t\)には\(\exp(iHt/\hbar )\varphi\)の状態になる。」 というものが由来です。これは要請なので、こうするとうまく実験結果とあう理論を作れるのでこうした、という気分のものでしかないです。 詳細に入る前に、場の状態の記述方法について、簡単に説明します。場は時間と空間の関数ですので、この関数全体の集合\(\Psi\)を考えます。集合\(\Psi\)は遷移確率を考える上で内積が定義されていてほしく、かつ内積から誘導されるノルムが完備であってほしいので、ヒルベルト空間とします。\(\Psi\)の元を\[|\psi\rangle\in \Psi \]と表し、\(\Psi\)上の内積を\[\left \langle \cdot |\cdot\right \rangle : \Psi\times \Psi \ni \psi_1 \times \psi_2\rightarrow \left \langle \psi_1|\psi_2 \right \rangle\in \mathbb{C}\]で表すものとします。さらに\(\Psi\)上の完全正規直交基底を\( \{Continue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事４

前回の投稿で加重平均の係数が\(\exp(iS/\hbar),S=\int d^4x \mathscr{L}\)になることを記載しましたが、ここを掘り下げていきましょう。 正直いうと結構前提知識が必要になってくるので、悩ましいですが、、、結論から先にいうと量子論の公理というか要請の１つ、 「ハミルトニアンが\(H\)である量子系の時間発展はユニタリ作用素\( \{\exp(iHt/\hbar )\}_{t\in\mathbb{R}}\)で記述される。つまり\(t=0\)で\(\varphi\)にある状態は時刻\(t\)には\(\exp(iHt/\hbar )\varphi\)の状態になる。」 というものが由来です。これは要請なので、こうするとうまく実験結果とあう理論を作れるのでこうした、という気分のものでしかないです。 詳細に入る前に、場の状態の記述方法について、簡単に説明します。場は時間と空間の関数ですので、この関数全体の集合\(\Psi\)を考えます。集合\(\Psi\)は遷移確率を考える上で内積が定義されていてほしく、かつ内積から誘導されるノルムが完備であってほしいので、ヒルベルト空間とします。\(\Psi\)の元を\[|\psi\rangle\in \Psi \]と表し、\(\Psi\)上の内積を\[\left \langle \cdot |\cdot\right \rangle : \Psi\times \Psi \ni \psi_1 \times \psi_2\rightarrow \left \langle \psi_1|\psi_2 \right \rangle\in \mathbb{C}\]で表すものとします。さらに\(\Psi\)上の完全正規直交基底を\( \{Continue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事４

今回量子化について、見ていきます。 3)場の量子化 前回の投稿で場\(\psi\)とその共役運動量\(\pi\)のポアソン括弧 \[\{\psi(t,x),\pi(t,y)\}=\delta(x-y)\] になることを示しました。これを量子化するには という手続きで実施できます。これを正準量子化といいます。 つまり \[[ \hat{\psi},\hat{\pi}]=i\hbar\delta(x-y)\] とするかたちとなります。ここで\(\hbar\)はディラック定数で\(1.05457\dots \times 10^{-34} \)J・sという小さな値です。実は物理的には手続きはこれだけなんですが、数学的に深入りすると大変になります。まず場とその運動量を演算子or作用素にするとなると、その定義域を定義する必要があります。これはヒルベルト空間の無限直和からなるフォック空間なるものを導入することになり、なかなかエグめになります。詳細は新井朝雄さんの「フォック空間と量子場」を参照してみてください。 実は上記のやり方は場の量子化ではあまり使われません。というのも場の共役運動量\(\pi\)はラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)を\(\partial_t\psi\)で変分したものですが、\(\partial_t\psi\)という時間微分した場だけが出てきて、これだけ特別視してる感があります。ラグランジアン密度は\(\mathscr{L}(\psi,\partial_\mu \psi)\)で場\(\psi\)と時間微分/空間微分\(\partial_\mu\psi\)の関数でしたから、時間微分\(\partial_t\psi\)で変分した量だけを取りあげるのは、ちぐはぐ感があるのです。※物理学的にいうとラグランジアンは相対論的共変性が見えやすいが、ハミルトニアンはそれが見えにくい、と表現します。 そこで使われるのが経路積分(or汎関数積分)という手法です。これは連続無限個の積分変数ですべて積分を実行するという荒技です。一般の場合、このような連続濃度の積分測度は存在しないことが数学的に証明されてしまっているのですが、ある条件下ではその存在を証明できるようです。 この経路積分について見ていきます。場「\(\psi\)」がある状態「\(\psi_1\)」から別の状態「\(\psi_2\)」に遷移するときの遷移確率を考えます。このとき\(\psi_1\rightarrow \psi_2\)の遷移の仕方は、直線的に遷移するものもあれば、遠回りして遷移するケースもあり、無限に存在します。経路積分はそれらを「経路」を全部足し合わせる、つまり「積分」する、というものです。 とはいえ、すべての経路が同確率で発生するとは考えづらいので、何かしらの加重平均をとる必要があります。この加重平均の係数は\(S\)を作用として、\(\exp\left\{ iS/\hbar \right\}\)として与えられます(なぜそうなるかは別の記事に書きます)。作用\(S\)は\[S=\int d^4x \mathscr{L} ( \psi,\partial_{\mu}\psi )\]でしたので、\(\psi_1\)から\(\psi_2\)への遷移確率を\(\left \langle \psi_2 | \psi_1Continue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事３

前回に続いて場の量子化をしていきます。 前回急遽出てきた\(\mathscr{L}=\mathscr{L}(\psi,\partial_{\mu}\psi)\)をラグランジアン密度といい、空間積分した\(L = \int dx \mathscr{L}\)をラグランジアンと呼びます。 ラグランジアン密度を使って、\(\psi\)に共役な場の運動量を \[\pi \equiv \frac{\delta \mathscr{L}}{\delta \partial_t \psi}\] と定義します。これは\(\partial_t\psi\)の形を\(\partial_t\psi+\delta\partial_t\psi\)と少し変えたとき、\(\mathscr{L}\)の変化量を場の運動量と定義する、という意味になります。 さて、ラグランジアン密度は\(\psi,\partial_\mu\psi\)の関数でしたが、\(\psi,\pi\)を表せる量を考えます。数学ではルジャンドル変換というものを用います。すると \[\mathscr{H} (\psi,\pi,\partial_x\psi)\equiv \pi\partial_t\psi-\mathscr{L}(\psi,\partial_\mu \psi)\] となる\(\mathscr{H}\)なる量が定義できます。これをハミルトニアン密度と呼びます。また\(H=\int dx \mathscr{H}\)をハミルトニアンと言います。 さて、ハミルトニアンの変分をとると \[\delta H = \int dx \left\{\frac{\delta\mathscr{H}}{\delta \psi}\delta\psi+\frac{\delta\mathscr{H}}{\deltaContinue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事２

こんにちは、けんじです。 今回、現代物理学の招待３で場の量子論について、少し深く解説していきます。 1)場まず「場」についてです。これは一言でいうと 時間と空間を引数にもつ物理量全般 のことを言います。ちょっと例をあげてみましょう。 天気予報などで、日本地図と各代表都市の温度が記された場面を見たことがあると思います。気温は都市によって温度が違いますから、空間に依存していると言えます。また朝は涼しく、昼は暖かく、夜は冷えたりして、気温は時間にも依存していると言えます。つまり各地の気温は「場」になります。 もうひとつ天気予報で風の予報も見たことがあるかと思います。これも場です。風の大きさや向きは都市によって違いいますし、朝昼夜でも変わってきます。つまり空間と時間に依存している物理量のため「場」と言えます。 気温は各時間と各空間でスカラー(値のみ保有する)を記述する場なので、スカラー場と呼ばれ、風は各時間と各空間でベクトルとなるので、ベクトル場と呼ばれています。 その他物理量にはテンソルやスピノルというものがあり、それらに対応するテンソル場やスピノル場がありますが、身の回りの現象ではなかなかないので、おいおい説明していきます。 2)場の定式化 場を定量的に表すため、数学を使って定式化していきます。場は「時間と空間を引数にもつ物理量全般」でしたから、文字で表すと\(\psi (x,t)\)、xを位置、tを時刻として表すことができます。xやtで微分する記号を、\(\partial_t=\partial/\partial t,\ \partial_x = \partial/\partial x \)と略記します。 さて急ですが、次のような関数を考えます。 \[\mathscr{L}=\mathscr{L}(\psi,\partial_t\psi ,\partial_x\psi)\] これは場\(\psi\)と場の時間と空間の微分\(\partial_t\psi,\partial_x\psi\)の関数になっている量を考える、という意味です。 \(\partial_t\partial_t\psi,\ \partial_t\partial_x\psi \)などの他の引数は必要ないのか、という疑問が出てくるかと思いますが、シンプルにするため一旦上記のみとしています。あまり多くの引数があっても式が複雑になるので、最初はシンプルな形で考える、というくらいの気分です。 \(\mathscr{L}\)の性質を調べるため、この量を時空間全体にわたって積分したものをSとします：\[S=\int dxdt \mathscr{L}(\psi,\partial_t\psi,\partial_x\psi) \] 記号が煩雑になるので、\(x^{\mu}=(t,x)^{T},dxdtContinue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事

今回は原子核物理学、原子分子物理学、物性物理学を紹介していきます。 上図の注意点についてはこちらの投稿をご確認ください。 今回はここまでにします。もしよろしければ以下の記事もご覧ください。 最後まで読んでくださりありがとうございます。質問などはコメント欄もしくはお問い合わせにてよろしくお願いいたします。

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今回は研究分野について、少しずつ触れていきたいと思います。 今回はここまでにします。もしよろしければ以下の記事もご覧ください。 最後まで読んでくださり、ありがとうございます。質問やコメントはコメント欄か問い合わせにてよろしくおねがいいたします。

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