Author: Kenji

1)背景 本稿はこちらやこちらで紹介した書籍を参考にしてます。 現代物理学では「場」が基本的概念です。場を一言でいうと、空間に広がっていて、時々刻々変化する物理量のことです。よく知られている例として電磁場や重力場の他、電子場やクォーク場などがあります。 場を量子化することで、粒子性が出現します。電磁場を量子化すると光子、電子場からは電子、クォーク場からはクォークという感じです。重力場の量子化はまだ成功してませんが、その量子の名前はグラビトンと呼ばれています。 量子力学のおける粒子性・波動性というのは、「場」から導出された副次的な概念と考えるのが現代物理学では一般的ですが、歴史的な経緯のためなのか、粒子性・波動性が両立する量子力学は錬金術や魔術的な扱いをしばしば受けます。 本稿では、粒子性/波動性のうち波動性は「場」の性質そのものですので、場から粒子性を導出してみます。さらに量子力学特有の波動関数も導出し、これが物理的実体としての場とは異なることを見てみます。※最初に言ってしまうと場の状態の基底の選び方を変えたときの展開係数が関係しています。 なお、本稿は非相対論的な場であるシュレディンガー場に絞ります。 2)シュレディンガー場の方程式 非相対論的な場\( \psi = \psi (x,t)\)は、シュレーディンガー方程式 \[i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( – \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V(x) \right)\psi\] に従います。これはラグランジアン密度 \[ \mathscr{L} = \psi^*\left( i\hbarContinue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事８

こんにちは、本日はゲージ原理について、ゆるめに解説していきます。 ゲージ原理は現代物理学でも基本的な概念の１つになっています。これを勝手に解説していきます。 ゲージ原理の「ゲージ」とは、大雑把にいうと「ものさし」です。ものさしとは人間が何かしらの物理量を計るために勝手においた指標のことですから、ものさしを変えても自然の性質は変わらないはず、という考え方がゲージ原理です。 このゲージ原理は、現代物理学の２巨頭である「場の量子論」「一般相対性理論」に共通している考え方です。 これらについてみていきます。 本シリーズの最初の方でラグランジアン密度を扱いました。\(\psi\)を場として、\[\mathscr{L}=\mathscr{L}(\psi, \partial_\mu\psi)\]という感じで、ラグランジアン密度は、場とその時間/空間微分の関数でした。これまでは\(\mathscr{L}\)の具体的な形は与えておらず、今回あたえていきます。 場の量子論の成り立ちは、特殊相対論と量子力学を整合させることがモチベーションとなって始まりました。こちらについて少し触れていきます。なお、式を簡潔するため自然単位系( プランク定数と光速を\(1\)とおく単位系で、\( \hbar =1,c=1\) )を用います。 1)Dirac方程式 特殊相対論によるとエネルギーの関係式は\[E^2=m^2+p^2 \Rightarrow E = \sqrt{m^2 + p^2}\]のようになります。この相対論的エネルギーの式に量子力学で成功した正準量子化と呼ばれる方法\[E\rightarrow \hat{E} = i \frac{\partial}{\partial t},\ p \rightarrow \hat{p}=-i\nabla\]を何も考えずに適用すると、\[\hat{E}\psi = \sqrt{m^2Continue readingサラリーマンが場の量子論を勝手に解説する無謀な記事７

こんにちは、本日は量子力学の誤解について勝手に解説していきます。 その特異な性質からトンデモに紐付けやすい量子力学ですが、近年量子コンピュータがアツくなってきていることもあり、謎の解釈の横行が激しくなってきています。 最初に言っておくと、量子力学をしっかり学びたいのであれば、謎めいた自己啓発本ではなく例えばこちらで紹介したような正統的な量子力学の本で学んでください。 本稿は以下の事柄について解説します。 1)パラレルワールドが存在する 「量子力学がパラレルワールドの存在を証明している」という文言をよく見ますが、これは正しくありません。 量子力学では、重ね合わせの原理という概念があります。固有状態\( \ \psi_1 ,\psi_2\ \)があったとき、その線型結合\[\psi = a\psi_1 + b\psi_2 ,\ \ a,b\in \mathbb{C}\]も状態となることを謳ったものです。 数学的には線型空間で線型結合をとることは自然なのですが、重ね合わせた状態を物理学的にどういうふうに解釈したらよいか、という問題があり、現在は主に２つの解釈があります。 ・コペンハーゲン解釈・多世界解釈 コペンハーゲン解釈が確率解釈で、ざっくりいえば量子は確率的な振る舞いをする、という解釈です。\( \psi \)を観測すると、確率\( |a|^2\)で\(\psi_1\)が観測され、確率\( |b|^2\)で\(\psi_2\)が観測される、という解釈です。物理学全体としてはコペンハーゲン解釈の方が支持されています。 一方多世界解釈は、\(\psi_1\)である世界と\(\psi_2\)である世界が同時に存在していて、\( \psi \)を観測したとき、どちらかの世界に移行する、というものです。確率\( |a|^2\)で\(\psi_1\)の世界に移行し、確率\(Continue reading量子力学の誤解を解くための記事

１回目、２回目に引き続き量子コンピュータの基礎について勝手に解説していきます。本稿もこちらで紹介した書籍を参考にしてます。 2)古典計算機より量子計算機が速い理由 本稿は量子計算機が古典計算機より早い理由について軽く説明していきます。 最初に結論をいうとビット演算レベルで並列計算ができるためです。これについて以下説明していきます。 ちなみに古典計算機でもマルチスレッドによる並列処理ができますが、CPUのビット演算レベルでは直列です。スレッドAの処理待ち時間をスレッドBの演算時間にあてる感じで、人間からみると並列で処理しているように見えるが、CPUのビット演算レベルでは直列で処理しています。 2-1)並列処理のイメージ 例えば以下のような量子ゲートを考えます. ここで\( U_f \)は何かしらの演算するゲートで、\[U_f|x\rangle |y\rangle = |x\rangle |y \oplus f(x)\rangle\]とします。ここで\( y \oplus f(x) \)は排他的論理和を表します。 初期状態として\( |\psi\rangle = |\varphi\rangle = |0\rangle \)とすると、\[ U_f\Big(H|0\rangle\otimes |0\rangle \Big)Continue reading量子コンピュータを勝手に解説する記事３

こんにちは、前回引き続き、量子コンピュータの動作原理から勝手に解説していきます。 今回は量子ゲートからです。 1-2-2) 量子ゲート 古典計算機ではビット操作を AND、OR、NOTという演算で実施してました。量子計算機でもビット操作する演算が存在します。すこし紹介していきます。 基本的な考え方は古典計算機と同じです。入力に対して、何かしらの演算をして、出力するというものです。 具体例をいくつか挙げてみます。 ・NOTゲート入力のqubitを\( a|0\rangle +b|1\rangle \)とします。NOT演算を施すと\[ b|0\rangle +a|1\rangle \]のように係数が反転するものになります。 ・アダマールゲートこれは量子計算機特有のゲートです。入力のqubitを\( a|0\rangle +b|1\rangle \)にアダマールゲート\(H\)(慣例でアダマールの頭文字をとって\(H\)で表すことが多い)を作用させると、\[\frac{a+b}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{a-b}{\sqrt{2}}|1\rangle\]となるものになります。 1-2-3)量子ゲート(複数qubit) 本稿は複数ビットの場合から解説していきます。 ・CNOTゲート(制御NOTゲート) 2qubitを入力とする量子ゲートです。これを\(|\psi\varphi\rangle\)とします。これは制御ビットが\(|\psi\rangle\)で、標的ビットが\(|\varphi\rangle\)となるものです。 このときの出力\[|\psi’\rangle|\varphi’ \rangle = \mathrm{CNOT} |\psi\rangle|\varphi\rangle\]は、制御ビットはとくに変更を受けず、制御ビットが\(|1\rangle\)だった場合だけ、標的ビット\(|\varphi\rangle\)を反転させるもので、\(\mathrm{NOT}\)演算子を\(X\)とすると\[|\psi’\rangle|\varphi’\rangleContinue reading量子コンピュータを勝手に解説する記事２

こんにちは、今回は量子コンピュータについて勝手に解説していきます。本稿はこちらで紹介した書籍を参考にしてます。 私が学生時代のときは実用化には来世紀にはなるだろうと言われていた量子コンピュータですが、近年は21世紀半ばには実用化される勢いとなっており、時代の流れを感じます。 こちらで量子コンピュータについて少し触れましたが、本稿では・どのような動作原理なのか・なぜ既存コンピュータよりも高速だと言われているのか・そもそもどんな社会的インパクトがあるのかについて、もう少しふわっと突っ込んで解説していきます。 1)動作原理 用語の統一のため、現在のノイマン型コンピュータ(パソコンやスーパコンピュータなどといったいわゆるコンピュータ)を古典計算機、量子コンピュータを量子計算機とします。古典/量子という対は、物理学の慣例に由来します。古典だから古いとかそういうわけではなく、量子論を使わない分野を古典物理学、量子論を使う分野を量子物理学とざっくり分類する慣例です。 1-1) 古典計算機 計算機の演算行為はCPUで行われ、CPUは半導体から構成されています。半導体の中で、・コンデンサの帯電有無・ある回路の電流の有無・磁極の向きなどで、\[ \{0,1\} \]を表現します。必ず\(0\) or \(1\)どちらかの値をとり、これはブール代数として理想化されます。ブール代数で定義されている基本演算は、・AND・OR・NOTの３つになり、ブール代数上のいかなる演算も上記の３つの組み合わせで表現できます。つまり３つの演算を使ってビットを操作することで、計算を実施することになります。AND、OR、NOTの演算規則は以下のようなものです。論理ゲートの詳細についてはこちらなども参照ください。 1-2) 量子計算機 古典計算機では\(. \{0,1\} \)のどちらか一方の値をとる前提でした。しかし量子計算機ではこの描像がガラッと変わります。まず古典計算機のビットに相当するところからです。 1-2-1) 量子ビット 物理学では系の状態を記述することから始まります。先の古典計算機のビットであれば、\(0\) or \(1\)が状態を表すことになります。一方、量子計算機におけるビットのとりうる値は、\(0\) or \(1\)ですが、これは確定した値をとるわけではなく、確率的になります。これは対象のビットを観察してみると、\(0\)の場合もあれば\(1\)の場合もあることを意味しています。量子計算機でのビットを量子ビット、quantum bit、略してqubitと呼んだりします。 さて、量子ビットについてもう少し踏み込むには量子力学の知識がどうしても必要になります。以下少しまとめておきます。 量子力学ミニマム かなり端折ってますが、以上が量子力学の結果をざっとまとめたものです。なんで線型空間やヒルベルト空間といったものを持ち出すのか？、複素数がなぜ出てくるのか？とよく聞かれるのですが、なんでかはぶっちゃけわかりません。無数の実験結果や理論的考察から上記のようにするとうまく説明できるから、というのが解答です。この世界は思ったほど単純にできているわけではないようです。 (もちろん量子力学では数学、特に線形代数や関数解析等を駆使して厳密に定義されています。その際の最低限の要請/公理の部分が直観的でないと言う感じです。) qbitの担い手となる物理的実体の代表的なものは、光子の偏光状態や電子のスピン等が挙げられます。Continue reading量子コンピュータを勝手に解説する記事１

物性論といえば、まずはキッテル本かこの書籍かというくらい優れた書籍です。理論と実験両方をバランスよく解説しており、私が学生時代によく読んだ書籍です。特にバンド理論はこの本で学びました。直訳感がなく自然な日本語で読みやすいです。目次としては第１章 固体における化学結合第２章 固体の構造第３章 周期構造からの回折第４章 結晶中の原子の動力学第５章 熱的性質第６章 固体中の「自由」電子第７章 固体の電子バンド構造第８章 磁性第９章 電子の運動と輸送現象第１０章 超伝導第１１章 物質の誘電的性質第１２章 半導体といった感じで物性論の基本事項はほぼ抑えています。(目次の詳細はこちらを参照ください)物性論の初学者にはうってつけです。※あくまで物性論の初学者ですので、その前提知識となる量子力学や統計力学は既知である必要がありますが。 順調に版を重ねており、2022年7月に4版「固体物理学　原書4版　物質科学の基礎」が出たようです。 21世紀に入ってから発見されたトポロジカル絶縁体について、解説した書籍です。トポロジカル絶縁体はバルク(内部)は絶縁体であるが、表面は伝導体になるという物質で、この挙動を説明するために電子の波動関数の位相幾何学的手法(トポロジー)が使われるため、上記のような名前になってます。近年、表面上を流れる電子がマヨラナフェルミオンのような挙動をすることが示唆され、新しいタイプの量子コンピュータ(トポロジカル量子計算)に応用される可能性を秘めており、活発に研究されている分野です。(マヨラナフェルミオンを観測した的な論文が出たようですが、最近は懐疑的になっているようです。いずれにせよ最先端の分野であることに間違いないかと思います。) 理論屋のためのゴリゴリの理論ではなく、新物質を発見していく実験屋が最低限知っておくべき理論を解説したイメージで、専門外でも比較的読みやすいです。目次としては以下となります。(詳細はこちらを参照してください。) 第1章　トポロジカル絶縁体とは第2章　量子力学のおさらい第3章　固体物理学のおさらい第4章　フェルミ面の観測法第5章　トポロジカル絶縁体の基礎理論第6章　トポロジカル絶縁体物質第7章　トポロジカル絶縁体の物性第8章　トポロジカル超伝導体第9章　応用への展望

素粒子標準模型の標準的な教科書です。本書籍は場の量子論の教科書でないことから、場の量子論の詳細の理論構造には深入りせず、標準模型の記述に必要な範囲に説明を絞っています。多少場の量子論の知識があれば、読み進められるかと思います。また理論のみならず、実験についても触れられており、バランスのとれた教科書で、例えば物性系などの物理専門であるが素粒子論を専門としないような人が、標準模型を勉強する際に最初に読む書籍といっていいかと個人的には思います。 本書籍の内容は以下の通りです。　第1章　素粒子物理の概観　第2章　Lorentz変換　第3章　Lagrange形式　第4章　古典電磁気学　第5章　Dirac方程式とDirac場　第6章　自由空間におけるDirac方程式の解　第7章　荷電粒子場の電磁力学　第8章　場の量子化：量子電磁力学　第9章　弱い相互作用：低エネルギー現象論　第10章　自発的な対称性の破れ　第11章　電弱ゲージ場　第12章　レプトンのWeinberg-Salam理論　第13章　Weinberg-Salam理論の検証　第14章　クォークの電弱相互作用　第15章　ウィークボゾンの強粒子崩壊　第16章　強い相互作用の理論：量子色力学　第17章　量子色力学の計算　第18章　小林 – 益川行列　第19章　量子異常 本書籍の詳細を確認したい場合、訳者樺沢さんのページをご参照ください。 一般向けに書かれた書籍です。素粒子論が難しいのは、その基礎理論である場の量子論に触れずに無理やり説明するからだ、という一貫した立場で解説しており、個人的に一般向けの啓蒙書の中では最高峰の解説書と思います。場が励起することで粒子っぽくふるまったり、波っぽく振舞ったりするだけで、物理的本質は「場」です。実際「場」の概念をバネで形容して説明しており、物理専門外の人にもイメージしやすいように配慮しています。このバネの振動によって粒子っぽく見えたり、波動して空間を伝わったりする、という感じです。バネの振動は内部空間の方向にも振動でき、これがクォークの種類を決めるイメージであると説明していきます。高校レベルの数学の知識に抑えながら、本質に迫る説明をしてくれており、なかなか素晴らしいと思います。 目次は以下となります。　第1章　素“粒子”という虚構　第2章　場と原子　第3章　流転する素粒子　第4章　素粒子の標準模型　第5章　摂動法と繰り込み　第6章　何が究極理論を阻むのか　付 録　素粒子の計算にチャレンジ