Author: Kenji

位相幾何学の書籍について紹介します。位相幾何学が何者かについてはこちらも参考にしてください。 その道ではいわゆる「中原トポ」と呼ばれる著名な書籍らしいです。物理学に必要な幾何学全般を扱ってます。技巧的すぎたり難易度が高い証明については敢えて割愛しており、その代わり定理の意味や使い方に重点が置かれていたります。そういう意味では厳密な数学書ではなく、物理学への応用に主眼をおいたものになります。日本の物理学者が英語で書いた数学の本を、数学者が訳した書籍という点でかなりユニークです。最近第二版が出版されましたが、1巻のみで2巻は未定のようです。(上の図は1巻の表紙です) ざっくり中身ですが、位相幾何学に関係あるのは、(2章,)3章,4章,6章です。一応1巻の目次全体を記載しておくと 1章：量子物理学、2章：数学からの準備(集合/位相)、3章：ホモロジー群、4章：ホモトピー群、5章：多様体論、6章：ドラームコホモロジー、7章：リーマン幾何学、8章：複素多様体 な感じですが、6章は5章：多様体論を知ってる前提なので、位相幾何の初学習時は3章と4章を読み込むでいいかと思います。ホモロジーやホモトピーの内容は基本的な事柄は全て網羅されているかと思います。物理の応用が主眼のため、4章の例がなかなかマニアックだったりしますので、物理学に精通していなければ飛ばしてしまってよいかなと個人的には感じます。(物理に明るくない人がこの書籍を読むかどうかはおいといて) 5章の補足のページで、微分位相幾何学(多様体のトポロジーを調べる分野)の内容が紹介されており、かなり興味深かったのを覚えてます。 機械学習の次にバズると勝手に思っているトポロジカルデータ解析(TDA)の書籍を探していた際に見つけた書籍です。TDAではパーシステントホモロジー(PH)がその基礎的概念に使われていますが、PHについて解説した唯一の邦書が本書籍です。130ページ程度ですが、ゴリゴリの数学書です。集合/位相を基礎として、まず1章で単体/複体の解説を行い、2章で代数学の基礎から説明をしています。群/環、加群を解説した後、ホモロジー群に入るようなホモロジー代数の王道をいってるかと思います。3章で1章と2章の内容を用いてパーシステントホモロジーを定義していきます。代数学の知識も仮定していないので、ホモロジー代数を学びたい際の１冊目としてもおすすめできるかと思います。 近所の図書館で見つけたややレア本です。数学的な厳密性はそこまで追求せずに、数学のさまざま分野で使われているコホモロジーを紹介しています。なかなか直感的でわかりやすいですが、4章あたりから難易度が上がります。 近所の図書館からノリで拝借したもので、微分位相幾何学のモース理論を基礎から解説しています。本書籍の著者は多様体の基礎などで有名なので、借りてみました。素人にはなかなか難しいですが、比較的丁寧でなんとか証明まで追っていける感じがしました。内容としては、　第1章　曲面上のMorse理論　第2章　一般次元への拡張　第3章　ハンドル体　第4章　多様体のホモロジー　第5章　低次元多様体といった感じで、第１章でイメージしやすい曲面を題材にして、今後でてくる必要な概念をほぼ説明していて、その後一般次元に拡張を行うスタイルをとっており、初学者にもとっつきやすいかと思います。

本日は、数学基礎論、計算機科学について紹介していきたいと思います。 数学基礎論 数学基礎論はその名の通り、数学の基盤となる分野です。数学基礎論の一分野に数理論理学がありますが、ほとんど数学基礎論といえば数理論理学を指すことが多いです。数理論理学はざっくりいうと数学の証明のお作法を学びます。数学の証明は、公理や定義から始まって論理的な推論をいくつも経て主張ないし定理を得る過程のことです。論理的推論の例として、アリストテレスの有名な例で「人はいつか死ぬ。ソクラテスは人である。ゆえにソクラテスは死ぬ。」というものがあります。これは集合論的にいうと、「AはBであり、a \(\in\) Aであるから、a is B」ということを意味しています。これは反証しようがない推論となっており、こうした推論の方法/テクニックを学びます。数学基礎論ないし数理論理学は計算機科学と結びつきが強い分野(というか数理論理を使って定式化している)で、計算機科学の書籍には基本的な数理論理の話がだいたい載ってます。この分野で有名なのがゲーデルの不完全性定理です。これは超ざっくりいうと「自然数論を含む論理体系は自己の無矛盾を証明することができない。」です。ある理論体系の中で、証明も反証もできない命題が存在するもので、ゲーデルがこの証明が世の中にでた際、かなり衝撃を与えたと言われています。 計算機科学 計算機科学はコンピュータ(計算機)を数学的にモデル化して、コンピュータの限界や新アルゴリズムの存在を模索する分野です。その際最初に必要となる概念がオートマトンです。数学的定義の詳細は割愛しますが、有限な状態の集合と、状態を遷移する写像から成り、これは状態をもつシステムを構築する際にとても有用な概念となります。オートマトンという言葉よりかは状態機械(もしくはステートマシン)で呼ばれることが多いです。オートマトンで処理可能な文字列を「文脈自由言語」と呼びますが、これはプログラミング言語のコンパイラーによく使われます。オートマトンと無限に長いのテープを一緒にしたものがチューリングマシンです。チューリングマシンがコンピュータの数学的モデルであり、ある命題の計算可能性や計算時間や計算領域を調べる際に使われます。さまざまな命題を分類するのに計算時間を用いられることが多いです。計算時間の分類として有名なのがクラスP、クラスNPです。入力の文字数をnとしたとき、クラスPに属する問題は決定性チューリングマシンを使ってnの多項式時間でとける命題で、クラスNPは非決定性チューリングマシンをつかってnの多項式時間でとける命題です。現在P\(\neq\)NPという予想はされていますが、証明はされてません。P\(\neq\)NP予想はミレニアム懸賞問題のひとつになるほど重要なステートメントになります。 最後まで読んでくださりありがとうございます。質問等はコメント欄か問い合わせページにておねがいします。

確率論の書籍の紹介です。現代確率論がどんなことやるのかはこちらをご確認ください。 この本は金融工学の書籍ですが、付録がとても秀逸なのであげておきます。現状、金融工学をガチでやろうとすると測度論的確率論が必須知識となりますが、いきなりこの分野に入ると現代数学の抽象的な記述に虐殺されます。これを緩和させるために、条件付期待値の理解を目標に、根元事象やσ加法族、確率測度、確率変数など確率論の登場人物たちの数学的に厳密な定義を、できるだけ平易に説明しており、確率論に挫折した人や初学者にかなりおすすめできます。もちろん条件付き期待値までなので、それ以降は別の本で学ぶ必要がありますが、最初のハードルを下げるという意味で価値ある書籍かと思います。 同シリーズの複素関数論のルベーグ積分のパートを先に読むことを前提にしてます。現代確率論の最低限は本書籍に記載があります。数理物理の位置付けのため、分子混沌仮説やポアンカレの再帰定理など物理学の接点が多く登場します。少し触れるとラグランジュ力学系orハミルトン力学系の場合十分大きな時間が経てば任意の精度で初期値近傍を通るというものがポアンカレの再帰定理ですが、これは熱力学第二法則のエントロピー増大に一見矛盾しているように見えます。そこでボルツマンは、気体分子は弾性衝突をランダムに繰り返す、という分子混沌仮説を要請します。弾性衝突は保存力とは異なり何かしたらのポテンシャルの勾配で記述できるものではないため、ポアンカレの再帰定理と熱力学第二法則は同時に成り立っても矛盾しない、というようなものです。私は物理出身ということもあり、このあたりが非常に興味深かったです。また関数解析との接点も多くあり、条件つき期待値を確率変数全体から構成されるヒルベルト空間を用いて定義していたり、ウィーナー測度の構成の際にハーン・バナッハの拡張定理や、リース・マルコフ・角谷の定理などを扱ってたりします。上記のため、ラドン・ニコディムなどの確率論で標準的な内容をいくつか触れられてないこともあるので、そこはネットや他の書籍で補完する必要がありますが、なかなかの良書かと思います。 現代確率論はルベーグ積分を基礎として展開されており、そこに焦点を当てた書籍です。いきなり抽象的な定義をするのではなく、議論が進むにつれ徐々に数学的に厳密に定義していくスタイルをとっています。ルベーグ積分と確率論の全くの初学者には向いてるかと思いますが、現代数学のスタイルに慣れてる人には逆にまわりくどく感じるかもしれません。 本書は量子論で重要なファインマンの経路積分を現代確率論のことばで厳密に定式化することを目標にする書籍です。１章に確率論、2章に確率過程の話が載っており、最低限確率論を俯瞰できます。もう少し後ろの方で伊藤積分の説明もあります。この本も新井さんの書いた本で、説明は相変わらず丁寧で、なんとか自分も理解できます。ただ測度論、関数解析は既知前提なので、本書籍で確率論を学ぶ対象者は絞られてしまうかもしれません。 2022/02/28 追記確率過程論で有名な日本の数学者伊藤清氏による確率論の書籍でじっくり確率論の深淵を学ぶにはうってつけの書籍です。かなり厳密に確率論を論理展開していて、ちょいちょい関数解析の知識も必要になります。現在5章の確率過程を読んでますが、私には難しいです。気長にじっくり読んでいきます。かなり勉強になります。

関数解析学の参考書について上げていきたいと思います。関数解析はどんなことやるのかについてはこちらをご覧ください。 測度論のところでも紹介した本です。関数解析のパートは標準的な記載内容ですが、前半のルベーグ積分をバンバン使って関数解析を展開していっており、関数解析は測度論を前提としている点で王道といえば王道な本です。関数解析のパートとしては、バナッハ空間に始まり、ルベーグ空間、ソボレフ空間、ヒルベルト空間、双対空間とすすみます。作用素のスペクトル分解やコンパクト作用素などもあり、関数解析の標準的な内容を網羅しているかと思います。ただ、やはり基本的な事柄は読者の演習にすることが多く、一人で読むのは気合が必要です。 最近新版が出て、上記の問題も改善され、原則読者の演習にしていた問題のほぼ全てに証明を追加したようです。さらに量子力学への応用を見据えて、関数解析のパートに自己共役作用素のスペクトル分解周辺の話題も追加されたようです。自分が読んだのは旧版で新版の方は読んでませんが、これから読むのであれば新版の方がよいように思います。 かなりレア本です。以前住んでいた地域の中央図書館にしれっとあったので、読んでみました。120ページ程度で、距離空間の導入から有界線型作用素のスペクトル分解まで一気に説明する、最短ルートで進む感じがなかなか小気味いいです。一般論として量子力学で登場する作用素は非有界線型作用素であるので、非有界線型作用素のスペクトル分解が必要です。有界線型作用素のスペクトル分解だけでは量子力学への応用としては足りないのですが、これは筆者による量子力学の構成方法がかなりユニークな形になっているためです。その詳細は同シリーズの量子力学で明らかになります。 関数解析は量子力学だけに応用されているわけではないので、有界な線型作用素のスペクトル分解までも十分価値があり、それを120ページ程度で、到達できるのはかなり良書に入るかと思います。 長らく絶版でしたが、最近紀伊国屋書店で電子書籍で購入することができるようになったようです。 「応用のための」という接頭語にある通り、関数解析の基礎の説明は最低限にして微分方程式やベクトル理論への応用、筆者専門の非線形作用素の章があります。非線形作用素の話はなかなか珍しいかと思います。稠密、完備、可分、バナッハ/ヒルベルト/ソボレフ空間などが定義なし(というか知ってる前提)に出てくるので、関数解析の基本は別の本で学んだ方がよい気がします。実数全体のような非可算濃度な集合を点列の収束で可算濃度のように扱うことが解析学の極意といっていたり、極限が存在する前提での収束定義は現実問題役にたたず、コーシー列の収束を使った方がよい、など経験に基づいた筆者の関数解析に対する考え方が伝わってくる書籍です。数学的な定義をする前に直感的な説明があるのもとっつきやすいかと思います。 なかなかいい感じの書籍です。ヒルベルト空間とその線型作用素に特化してますが、最低限バナッハ空間の話もあり、必要な情報はほとんど網羅されてるので、これ一冊で十分カバーできるかと思います。コンパクトな説明なので、多少行間を埋める必要がありますが、それもいい練習になります。1~3章まではバナッハ/ヒルベルト空間の導入からスペクトル分解に触れ、4章でコンパクト作用素、トレースクラスの話になります。トレースクラスは密度作用素を含むので、量子統計力学を数学的に扱う際にも役にたつかと思います。5章以降ややマニアックな話になりますが、基本的には作用素論までになっており、作用素環までは踏み込んではないです。なぜか作用素論とは関係なさそうな、バナッハ空間上の確率測度の話が6章の最後にあり、バナッハ空間での確率論/統計学を展開する際に重宝しました。 2021年9月現在、本書の出版元は牧野書店さんからオーム社さんに移り、オーム社さんから引き続き出版されるようです。※上の図は新版の方です。 本書籍は量子力学を数学的に厳密に展開していくもので、量子力学の応用に必要な数学を一から説明しています。量子力学はヒルベルト空間が舞台となるため、ヒルベルト空間の導入から始めてます。関数解析自体を論ずるのではなく関数解析の量子力学へ応用が主眼のため、直接使われないバナッハ空間の説明はほとんどないです。そのためもしかしたら一般のバナッハ空間でも成り立つ定理なのか、ヒルベルト空間でのみ成り立つものか吟味する必要あるかもしれないです。中身としては、ざっくりヒルベルト空間の性質と線型作用素、スペクトル分解でⅠ巻は終わります。一応立ち位置的には物理学の本のためか、作用素とは言わず終始演算子という言葉を使っています。非有界線型作用素のスペクトル分解まで詳しく説明、証明しています。新井さんの本は行間がほとんどなく、初学者でもじっくりよめば必ず理解できると思うのでその点ではかなりオススメです。Ⅱ巻でⅠ巻で証明した数学的事実を用いて量子力学を公理論的に組み立てていきます。 辞書に近い本で関数解析に関する事柄はほぼ全て網羅されています。もう少し薄めの本で関数解析全体を学び、さらに知識を深めたいところはこの本で補う的な使い方がよいと思います。500ページを軽く超えてくるので、通読は現実的に厳しい気がします。こちらも説明が丁寧なので、じっくり読めば理解できるものかと思います。 私は絶版のものを近所の図書館で借りて、少し読みました。最近上記URLのように復刻したようで手に入りやすくなったかと思います。関数解析を専門にするならば持っておくべき一冊かと思います。 2021/12/23追記 実際に購入して読んでますが、非常に論理展開が丁寧で、とてもおすすめです。それゆえの500ページを超える分量になっていることを改めて感じています。独学に最適な一冊です。

ルベーグ積分の基礎から始めて、関数解析まで解説する書籍。最初はルベーグ積分を横に切る話から始まりますが、気づいたら公理論的に展開していくようになります。１冊でルベーグ積分と関数解析を凝縮しているため、基本的な事柄は演習問題に回してます。ただしその解答はないため、各自で適宜補完する必要があり、独習には向かないかもしれません。内容としては、１次元のルベーグ測度から始めて可測関数、ルベーグ積分とつづきます。１次元の話がひと段落すると測度の一般論に進み、トピック的には標準的な内容かと思いますが、入門書には珍しい、ビタリの被覆定理の説明があります。この証明に関しては賛否が分かれるところかと思います。その後一般的な関数解析の話に進んでいきます。 最近新版が出て、上記の問題も改善されたようです。さらに関数解析にスペクトル分解も追加されたようです。自分が読んだのは旧版で新版の方は読んでませんが、これから読むのであれば新版の方がよいように思います。 名前は複素関数論ですが、前半はルベーグ積分について解説しており、複素解析を測度論や関数解析の立場から俯瞰するというなかなか異端的な本。複素平面は\(\mathbb{R}^2\)に同相なので、２次元ルベーグ測度を導入している。ルベーグ積分と超関数の話をしたあとに複素関数論に入っていきます。ざっくりルベーグ積分と複素解析の入門を知りたい場合には良いかと思います。一点突っ込みをいれるとすれば、この本は高校二年性から読めるとまえがきで豪語してますが、どう考えても無理です。 現代確率論はルベーグ積分を基礎として展開されており、そこに焦点を当てた書籍です。いきなり抽象的な定義をするのではなく、議論が進むにつれ徐々に数学的に厳密に定義していくスタイルをとっています。ルベーグ積分と確率論の全くの初学者には向いてるかと思いますが、現代数学のスタイルに慣れてる人には逆にまわりくどく感じるかもしれません。 この書籍は量子力学を関数解析を使って厳密に論理展開していくものですが、かなり説明が丁寧で、本編付録も同様です。付録の位置付けのためもちろん全ての定理に証明が記載されているわけではないですが、十分詳しく書かれています。Ⅰ巻、Ⅱ巻どちらにも同じ付録が付いてます。この本の付録で基本を学び、証明の記載のない定理はネットや他の書籍で補えば十分学ぶことができます。中身としては、ボレル集合族と測度、可測関数、極限、絶対連続などルベーグ積分の説明をしてから、少し確率論の説明を加え、フーリエ解析、超関数の話題になります。 ルベーグ積分をじっくりガチでやるにはこの本がおすすめです。私は通読できてませんが、じっくり学ぶにはこの本が最もよいかと思われます。ルベーグ測度を導入して、可測関数、集合代数と説明が進みます。その後測度空間の発展として関数空間の説明に入り、フーリエ変換に至ります。本の雰囲気的に分厚く敷居が高いイメージですが、説明が丁寧です。最近上のURLのような新装版が出て、とっつきやすくなったかと思います。 2021/10/01 追記読みたくなったときは近所の図書館から拝借してきてましたが、さすがに面倒くさくなったので、購入しました。集合論の基礎から出発しているので、多少集合と位相の知識があれば問題なく読み進められるかと思います。もっと前に買っておけばよかったです。汗

数学は学生時代ちゃんと勉強してきてなかったこともあり、独学で勉強してます。もし数学に興味があってどの本を買おうか迷ってる人の一助になれば幸いです。 数学科の授業ではいきなり集合と位相が始まるので、なんでこんなことを学ぶ必要があるのか、何の役にたつのかがわからないまま抽象的な話がすすみ、多くの数学徒が虐殺される、ということを聞いたことがあります。この本は上記の困難に立ち向かうべく、集合と位相がなぜ必要なのか、どうやって現代数学の基礎になっていったかを重点的に説明しています。そのため、集合/位相の教科書ではなく、本格的に学ぶには他の参考書に頼る必要があります。(このあたりは本書籍のまえがきにも記載があります。)ですが、集合/位相の背景やモチベーション、こころを学ぶにはとても良い本かと思います。内容としては、実数の連続性、写像、集合の濃度、連続体仮説とすすみ、開集合/閉集合や閉包とすすみ、位相の概念を紹介しています。さらに集合論の発展に関連の深い測度の概念にも触れていきます。 書籍名はあれですが、中身はしっかりしてる系の本です。集合と位相の性質を練習問題を中心にして、証明していきます。現代数学は定義→定理→証明の繰り返しで論理を展開していくのですが、その形式に慣れるのにうってつけです。集合/位相のメインどころはだいたい網羅されているので、この本を周回クリアすれば、集合/位相と、現代数学のスタイルにはかなり慣れるかと思います。ざっくり中身ですが、集合と写像などの基本事項からはじまります。その後はいきなり位相にはいかず、\(\mathbb{R}^n\)上の距離から始めて、ユークリッド空間、距離空間、位相空間と拡張していきます。現代数学はおいてほとんどいたるところ集合/位相のことばで書かれているので、この分野をおろそかにすると後で苦労します。集合/位相は現代数学で最初に遭遇する抽象的な分野ですが、結局のところ「慣れ」がモノを言う世界なので、ある程度訓練が必要です。訓練するのにこの書籍は質、量ともに丁度いいかなと個人的には感じます。