Author: Kenji

こんにちは、みんな大好き(?)関数解析について勝手に解説していきます。こちらに記載したように通称「無限次元の線型代数」と呼ばれています。無限をちゃんと扱うにはそれなりに準備が必要ですので、順次やっていきたいと思います。 体\(F\)上の線型空間(ベクトル空間ともいう)を\(V\)とします。体\(F\)は実数全体\(\mathbb{R}\)でもいいですし、複素数全体\(\mathbb{C}\)でもいいです。 さて、収束/極限を考えるには２点間の「近さ」を定義する必要がありました。例えば数列\(\{a_n\}_n\)における極限であれば、任意の\(\varepsilon > 0\)に対して、ある\(N\)が存在して、\(n,m>N\)ならば、\(|a_n-a_m|<\varepsilon\)が成り立ちます。また関数\(f(x)\)が\(x=a\)で連続であることは、任意の\(\varepsilon > 0\)に対して、ある\(\delta > 0\)が存在して、\(|x-a|<\delta\)ならば\(|f(x)-b|<\varepsilon\)が成り立つ時をいいます。 数列の極限も、関数の連続性も絶対値\(|\cdot|\)が使われていましたが、これが暗黙のうちに近さを表すものだった、という感じで、この絶対値に相当するものを線型空間上に定義します。 DEF.1 ノルム \(V\)を体\(F\)上の線型空間とする。写像\(\left \| \cdot \right \|:V\ni v\rightarrow \left \| v \right \|\in \mathbb{R}\)が以下の性質を満たす時、\(V\)上のノルムという： 1)\(\|v\| \geq 0\)かつ\(\|v\| = 0 \LeftrightarrowContinue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事１

さて、今回はルベーグ積分論にて実用上よく使う定理を紹介していきます。 リーマン積分の二重積分で、特定条件下において積分順序を交換して逐次積分することができましたが、これのルベーグ積分版について考えるというのが、本項です。 さて、\( (X,\mathcal{F},\mu ) \),\( (Y,\mathcal{G},\nu ) \)を測度空間とします。直積\(Z=X\times Y\)上の測度空間を構成する必要がありますので、まずは\(Z\)上のσ加法族を考えます。これは\[\mathcal{H} \equiv \left\{ A\times B \subset \mathcal{F}\times \mathcal{G} \right\}\]とおくことで得られます。つまりは\(Z=X\times Y\)のσ加法族はそれぞれのσ加法族\(\mathcal{F},\mathcal{G}\)の直積として与えられることになります。 一応σ加法族の定義を満たしているかチェックしてみます。1)\(\phi \in \mathcal{F},\mathcal{G},\ X\in\mathcal{F},Y\in \mathcal{G} \)であるから、\(\phi,Z\in\mathcal{H}\)が成り立つ。2)\(A\times B \in \mathcal{H}\)とすると、\((A\times B)^c =Continue readingサラリーマンが測度論を勝手に解説する無謀な記事６

今回はラドン・ニコディムの定理やルベーグ・スティルチェス測度についてふれていきます。 リーマン積分で置換積分を習ったことがあるかと思います。例えば\[\int_0^3 \sqrt{9-x^2}dx\]の定積分を求める際、\(x=3\sin t\)とおくと\(dx = 3\cos t dt\)となるので、\[\int_0^3 \sqrt{9-x^2}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9-9\sin^2 t}\ 3\cos t dt \\=\int_0^{\frac{\pi}{2}}9\cos^2tdt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{9(1+\cos2t)}{2}dt \\= \frac{9}{4}\pi\]といった形に計算できるもので、公式にすれば、\[\int_a^b f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\frac{dg(t)}{dt}dt , \ a=g(\alpha),\ b =g(\beta)\]というものでした。これのルベーグ積分版を考える、というのが本稿になります。 ルベーグ積分における、この\(dg/dt\)にあたるものが何者かから定義する必要があります。まず測度の絶対連続という概念を定義します。Continue readingサラリーマンが測度論を勝手に解説する無謀な記事５

本日は前回から引き続きルベーグ積分と測度について解説していきます。 前回ルベーグ積分は、\((X,\mathcal{F},\mu)\)を測度空間として、\[\int f(x)\mu(dx) = \sum_{i=1}^{\infty} a_i \mu(A_i), \ \{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}\in \mathcal{F}\]となるのでした。そしてこれは縦が\(a_i\)、横が\(\mu(A_i)\)の長方形を足し合わせたものでした。\(a_i\)は\(f\)の値ででしたので、そのまま積分の式を解釈すると\(f\)と\(\mu(dx)\)の長方形を足し合わせるとも捉えられます。 ではリーマン積分と何が違うのでしょうか。これについて述べたいと思います。 例として以下の図のような関数\(g(x)\)を見てみます。基本的に前回までの\(f(x)\)と同じ関数ですが、\(x=1/3\)だけ外れ値をもつような関数です。 この積分をまずリーマン積分で考えます。\(x=1/3\)で不連続なので、リーマン積分で扱えないのですが、無理やり求めるとすれば\[\int_0^{1/3-\varepsilon}g(x)dx + \int_{1/3+\varepsilon}^1 g(x)dx\]として、\(\varepsilon\rightarrow 0\)の極限をとる形になります。その結果、\(\int f(x)dx\)と等しくなります。 一方ルベーグ積分は、というと定義から瞬殺で\[\int g(x) \mu(dx) = \int f(x)\mu(dx)\]が言えます。なぜなら\(x=1/3\)は可算集合のため厳密に\(\mu(x=1/3) = 0\)となり、積分に一切寄与しないからです。 さて次に以下のような関数を考えてみます。 式で書くと\[h(x) = \left\{\begin{matrix}Continue readingサラリーマンが測度論を勝手に解説する無謀な記事４

さて、本日は前回までに定義した、測度と可測関数の概念を用いて、積分を定義していきます。 \((\Omega,\mathcal{F},\mu)\)を測度空間、\(f:\Omega \rightarrow X\)を可測写像とします。いままで同様、\(\Omega=[0,1]\)ととります。 上の図はこちらの図2と本質は同じです。横軸に\(\Omega\)、縦軸に\(X\)をおいて、\(f\)をグラフで表したものになります。 \(f\)は可測関数でしたから、\(X\)上の全ての区間は\(\Omega\)上でも区間になります。ただし今回は\(X\)上の区間を\(B_i = [b_i,\infty),i=1,2,….\)という形でとってます。 さて、上記関係性を用いて、面積、つまり積分を求める方法を考えます。\(f^{-1}(B_i)\)が\(\Omega\)上の区間でしたので、横の長さは\(\mu(f^{-1}(B_i))\)とできます。これに縦の長さをかければ、横に細長い棒の面積が求まります。 １つの長方形の面積 = \((b_i-b_{i-1})\times \mu(f^{-1}(B_i))\) といった感じですね。したがって面積\(S\)は、\(b_i-b_{i-1}\equiv \Delta b\)とすれば \[S\sim \sum_{i}\mu(f^{-1}(B_i))\Delta b\] とできます。あとは\(\Delta b \rightarrow 0\)という極限をとればよく \[S=\lim_{\Delta b \rightarrow 0} \sum_{i} \mu(f^{-1}(B_i))\Delta bContinue readingサラリーマンが測度論を勝手に解説する無謀な記事３

前回、測度空間まで導入しました。今回は可測空間上の写像、可測関数を考えます。 測度空間を\((\Omega,\mathcal{F},\mu)\)とします。といってもとりあえず、・\(\Omega\):区間\([0,1]\)・\(\mathcal{F}\):区間\([0,1]\)の内部に含まれる区間をすべて集めてきた集合。\( \left\{[0.2,0.3],[1/3,1/2],[1/\sqrt{3},1/\sqrt{2}],……\right\}\)的なイメージ・\(\mu\):区間の幅を出力する関数と思ってもらっていいです。 さて、\(\Omega\)上の実数値関数\(f:\Omega\ni \omega \rightarrow f(\omega)\in X\)について、考えてみます。\(f\)の定義域\(\Omega\)は可測空間という、測度をふれる特別な集合でした。せっかく苦労してもたせた性質なので、\(f\)によって写された後も同じように測度をふれる構造をもった集合であってほしいと考えるのは自然なことかと思います。実はこれが可測関数の考え方で、測度をふる条件が整った空間、すなわち可測空間から可測空間への写像を可測関数ないし可測写像といいます。 具体的に区間と幅で考えてみやす。 \(A\)を\(\Omega\)の内部のある区間とします(\(A\in \mathcal{F}\))。\(A\)自体は集合なので、\(f(A)\)は像、すなわち集合になります。この\(f(A)\)がすべて\(X\)の区間となっていればよい、という感じです。 ただ、上の場合だと\(X\)の区間で、\(f(A)\)に対応しない区間が存在できてしまい、都合が悪いです。そのため\(X\)側に注目するように変更します。\(X\)の内部の区間を\(B\)とすると、全ての\(B\)に対して、\(f^{-1}(B)\)が\(\Omega\)の区間になっていればよい、ということにします。以下のイメージです。 これを数学的に書くと以下になります。 DEF.3 可測写像 \((\Omega,\mathcal{F}),(X,\mathcal{G})\)を可測空間とする。写像\(f:\Omega\rightarrow X\)が任意の\(B\in\mathcal{G}\)に対して、 \[\left\{\omega \in \Omega | f(\omega)\in B \right\}\equiv f^{-1}(B)\in\mathcal{F}\] をみたすとき、\(f\)を可測写像、もしくは可測関数とよぶ。 これが可測関数の考え方になります。 可測関数の定義を見れば明らかですが、可測関数は測度がふられてなくても定義できる概念です。 すこしそれますが、位相空間における連続写像\(f:X\rightarrow Y\)も可測空間における可測関数と同じように、写した前後で構造or性質を変えたくないという考えで定義しています。それが可測性か連続性かの違いだけになります。定義を書くとContinue readingサラリーマンが測度論を勝手に解説する無謀な記事２

いきなりですが、測度論/ルベーグ積分のこころを解説していきたいと思います。ルベーグ積分は解析学で最初の難関分野でして、専門外の私はかなり苦労しました。　(今も完全に理解しているのか、と言われると疑問ですが、、汗)この記事が同じように苦労している人の突破口になれば幸いでございます。 といいつつ、最初は集合、とくに無限集合についてです。もはや積分と全然関係ない感がありますが、実は測度論は集合論と深い関係があり、カントールの測度の深い考察から現代集合論のたたきができました。そのため集合論なしに測度論は語れないのです。 結論から言うと、無限集合には2種類存在します。それは・可算集合・非可算集合です。例としては、・可算集合：自然数全体の集合や、整数全体、有理数全体・非可算集合：無理数全体や実数全体、複素数全体となります。 この分類は感覚的に言うと、無限集合の元の数が、数えられるか否かなのかで分類したもので、イメージ的には可算集合は数えられるくらいの無限、非可算集合は数えられないくらいの無限といった感じです。毎度拙い図ですんませんが、以下がイメージ図です。 連続的に存在するというのは、開区間\((0,1)\)からテキトーに元\(x\)を選ぶと、区間\( (0,1)\)の分割方法は、1)\((0,x)\cup [x,1)\)2)\((0,x]\cup (x,1)\)のいずれかになるよ、という意味合いです。この分割の話は「デデキント切断」といい、数学的には分割1)or2)を満たすような集合を実数と定義します。 無限集合の元の「数」は数え切れないので、別の概念が必要で、「濃度」というもので表します。無限集合\(A,B\)があったとき、同じ濃度であることは\(A,B\)の間に全単射(1対1の写像)が存在するとし、\(B\)の濃度が\(A\)の濃度以上であることは、単射\(f:A\rightarrow B\)が存在することと定義します。つまり自然数全体と整数全体の間には全単射が存在し、自然数全体から実数については全単射は存在せず、単射のみ存在することになります。可算集合の無限と非可算集合の無限は、同じ「無限」であってもランクが全然違うことがわかります。 実数論について、これ以上は深入りしませんが、実数論は現代数学の基盤となるので、数学のガチ勢を目指すのであれば、一度はしっかり勉強することをお勧めします。数学は積み上げの分野なので、わからなくなったら前提となる分野に戻るのが一番の近道だったりします。(と言ってる私は専門外のただの趣味勢ですがw) 2.測度 さて、集合の大きさを定義するのに、単純に元の数をとると無限集合の場合数え切れない、という問題がありました。特に非可算集合なんかはもはや数えることすらできない集合でした。そこでもう少しいい感じに集合の大きさを決める指標がないか、ということで考案されたのが「測度」になります。ここではルベーグ測度を例に話していきたいと思います。 区間\(\Omega=[0,1]\)を考えます。\(\Omega\)の集合の大きさを決めたいのですが、\(\Omega\)は非可算集合なので、元の数を数えることすらできません。そこで、素朴に考えて「幅」を非可算集合の大きさにするのはどうか、というアイディアが出るかと思います。つまり\(\Omega=[0,1]\)の幅を\(1-0=1\)とする感じです。「幅」を表す写像をKKDで\(\mu\)とおき、区間\([a,b]\)の幅を\(\mu([a,b])=b-a\)と表すことにします。※KKD:カンと経験と度胸 幅を表す写像\(\mu\)の性質というか前提というかを考えてみます。 ・区間\(\Omega\)の内部には例えば\([1/3,1/2]\)や\([0.3,0.5]\)、\([1/\sqrt{3},1/\sqrt{2}]\)など非常にたくさんの区間が存在しますが、\(\mu\)は、これらに対しても適用できると考えるのが普通です。\(\mu((1/3,1/2)) = 1/6\)、\(\mu((0.3,0.5))=0.2\)、\(\mu((1/\sqrt{3},1/\sqrt{2}))=1/\sqrt{2}-1/\sqrt{3}\)といった具合ですね。 ・\(\mu\)の性質として、区間\([0.3,0.5]\)と区間\([0.7,0.8]\)をあわせた幅は、区間\([0.3,0.5]\)の幅と区間\([0.7,0.8]\)の幅の和になってほしいところです。式で書くと\(\mu([0.3,0.5]\cup [0.7,0.8])=\mu([0.3,0.5]) + \mu([0.7,0.8])\)となります。 ・また区間\(\Omega\)の任意の区間\(A\)の補集合\(A^c\)もまた区間になってほしいです。例えば、\([0.2,0.3]\)の補集合は\([0,0.2) \cup (0.3,1]\)となり、区間になります。 ・一点の幅は0です。\(\mu([a,a])=a-a=0\)といった感じです。 以上のことから、・幅を定義できる区間は、区間\(\Omega\)自身とその内部に存在する区間を全て集めてきた集合。・区間の補集合もまた区間・区間と区間の和集合はまた区間といった感じにまとめられ、幅は・点のような区間でない幅は0・重なってない区間の和集合の幅は、各区間の幅の和に等しい。となります。これがσ加法族や測度の考え方に繋がっていきます。もう一段階推し進め上記の性質をもう少し数学的に書き直したのが以下です。 DEF.1 \(\sigma\)加法族 \(\Omega\)を空でない集合とする。\(\Omega\)の部分集合族\(\mathcal{F}\)が以下の性質を満たす時、\(\sigma\)加法族という：Continue readingサラリーマンが測度論を勝手に解説する無謀な記事１

情報幾何の書評です。情報幾何がどんな分野なのかはこちらをご覧ください。 情報幾何を数学的に解説した書籍で、情報幾何に興味があるならばまず本書籍で学ぶのがよいかと思います。1~3章は情報幾何で用いる多様体~リーマン幾何学について解説しています。ユニークなのが、1章でユークリッド空間を曲がった座標系で記述する点です。普通の多様体の数学書ではこうした試みは数学的には無駄なのでまずやらないですが、教育的には斬新な切り口で、著者の教育的配慮が感じられます。そこから得た知見を使い2章,3章で標準的な多様体論リーマン幾何を展開していってます。微分幾何の導入としても使える章かと思います。4章,5章で情報幾何の話に入っていきます。双対アフィン接続は情報幾何で使う接続で、通常のアフィン接続の拡張となっています。5章で1~4章の知識を使って確率分布全体がつくる空間がどのような性質をもつか議論しています。6章~8章は情報幾何の応用例を紹介してます。６章は統計物理への応用ですが、統計力学に明るくなければ飛ばしてしまってもよいかと思います。7章は統計学への適用で、推定や検定等統計学で重要な概念を情報幾何のことばで再定義しており、まさに「統計学の幾何学化」その言葉のとおりです。8章は量子情報幾何で量子確率論を幾何学化するとどうなるかで、関数解析のヒルベルト空間論の知識が必要です。この分野は情報幾何学の創始者甘利俊一氏も直観が効かず難しいと言ってしまう分野で、初読時は飛ばしも問題ないかと思います。 最近(2021年6月時点)、共立出版から出版されるようになったようです。 amazonリンク 情報幾何学の創始者甘利俊一氏による情報幾何学の解説書です。基礎から説明していますが、どちらかというと応用に重きを置いてる感があります。微分幾何の章では数学的な厳密さは追求せず、直観的でイメージしやすい説明に終始しており、さすがという感じです。基本事項はほどほどに情報幾何のいろいろな応用例を紹介しています。まず統計学への応用があり、推定や検定の漸近理論について触れられています。漸近理論とはざっくりいうと、ある変数\(N\)を十分大きくしたとき、\(N\)の関数\(f(N)\)がある極限が存在するとして、そこにどの程度の速さで近づくか、誤差はどの程度かを見積る理論で、統計学では\(N\)を観測データ数にとります。１次高次の漸近性は情報幾何では確率分布空間の「接空間」までを考慮したもので、高次の漸近性を求めるには「接続」、「曲率」を考慮することが必要となり、幾何学的に見ると関係性がわかりやすいと思います。 近年発展が目覚ましい機械学習分野への情報幾何の適用があります。特にディープラーニングでプラトー(学習が進んでいないように見える領域)の原理を情報幾何をベースに力学系の考え方を用いて解説しています。パーセプトロンの重み係数全体がつくる空間において、いずれか二つの重み係数が同じ値になるとき、この空間は特異点をもつこととなります。詳細は割愛しますが、この特異点がある種のアトラクタとなり、このアトラクタ付近を通る際学習速度がゆっくりとなりこれがプラトーの原因であると言われており、非常に興味深かったです。 2022/8/11 追記私が読んだのは旧版の方です。これから読む場合は上の図の新版の方がよいかと思います。

微分幾何の分野について、書籍を紹介してみます。微分幾何の概要についてはこちらをご覧ください。 その道ではいわゆる「中原トポ」と呼ばれる著名な書籍らしいです。物理学に必要な幾何学全般を扱ってます。技巧的すぎたり難易度が高い証明については敢えて割愛しており、その代わり定理の意味や使い方に重点が置かれていたります。そういう意味では厳密な数学書ではなく、物理学への応用に主眼をおいたものになります。日本の物理学者が英語で書いた数学の本を、数学者が訳した書籍という点でかなりユニークです。最近第二版が出版されましたが、1巻のみで2巻は未定のようです。(上の図は1巻の表紙です) ざっくり中身ですが、微分幾何学に関係あるのは、(2章,)5章,7章,(8章)です。一応1巻の目次全体を記載しておくと 1章：量子物理学、2章：数学からの準備(集合/位相)、3章：ホモロジー群、4章：ホモトピー群、5章：多様体論、6章：ドラームコホモロジー、7章：リーマン幾何学、8章：複素多様体 な感じですが、5章の多様体は現代幾何学の基礎となるので、しっかり読みこんだ方がいいです。多様体の定義に始まり、多様体上の微積分、微分形式やリー群/リー環など基本事項はほぼおさえているかと思います。7章で微分幾何の代表分野であるリーマン幾何について、計量、接続、共変微分と解説しており、こちらも基本事項はほぼ押さえているので、熟読してその概念を習得する必要があります。物理の応用を念頭においてる書籍だけあって、リーマン幾何の応用例として一般相対性理論とひも理論の初歩について触れています。 5章の補足のページで、微分位相幾何学(多様体のトポロジーを調べる分野)の内容が紹介されており、かなり興味深かったのを覚えてます。 最初は斜交座標から入り、ざっと多様体の説明をして、現代数学的な可微分多様体の説明に入っていきます。微分幾何学の父といわれているリーマンのゲッティンゲンでの講演の内容の記載があり、1850年代にすでに現代の量子力学や場の理論、相対論の示唆があるのは、さすが天才中の天才の洞察力といったところです。このリーマンの示唆した内容から現代微分幾何が展開されています。一般相対論やゲージ理論といった現代物理学ではテンソルの成分のみを記載してテンソルそのもののように扱っているのは悪癖と一蹴しつつも、物理に近いところは物理の慣例通りテンソルの成分で展開し、数学的な説明の部分は座標系に依存しない形で説明しており、なかなかいい感じです。個人的にもう少しファイバーバンドルの解説がもう少しあるとよかったかと思います。最後になぜ、時空多様体が3+1次元なのか、なぜ量子力学/場の理論が成立するか、といった問いの回答が湯川秀樹の素領域理論を進化した量子モナド理論にあるとの紹介でおわります。量子モナドは定説にはなってない理論ですので、あまり気にしなくてよいです。。全体を通してコンパクトにまとまっており、かつ同シリーズの中では比較的自己完結になっているのでこの本単独で読み切れます。