Author: Kenji

前回関数解析におけるスペクトルを紹介しました。今回は少し例を挙げてみます。※本記事もこちらで紹介した本を参考にしてます。 1)掛け算作用素 ヒルベルト空間\(\mathcal{H}=L^2(X,\mathcal{F},\mu)\)上の線型作用素\(M_{\psi}:L^2(X)\ni f \rightarrow M_{\psi}(f)\in L^2(X)\)を\[M_{\psi}(f)\equiv \psi(x)f(x),\ \int_X \left| M_{\psi}\right|^2 \mu(dx) < \infty\]を掛け算作用素といいました。(こちらも参考にしてください。)掛け算作用素のスペクトルですが、\(I\)を恒等作用素として、\(\ker(M_{\psi}-\lambda I)=\{ 0\}\)かつ\(\overline{\mathrm{ran}\ (M_{\psi}-\lambda I)}=L^2(X)=\mathcal{H}\)であることから、連続スペクトルであることがわかります。(DEF.14参照) 一般に掛け算作用素のスペクトルは\[\sigma\left(M_{\psi}\right)=\left\{\overline{\psi(x)}\mid x\in X\right\}\]であることが示せます。証明は省略しますが、新井さん本(量子力学の数学的構造Ⅰ)に詳しい証明があります。 上記から、例えば\(\psi(x) = x^n\)であれば \[ \sigma(M_{\psi}) = \left\{\begin{matrix} \mathbb{R} &Continue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事１０

今回も前回に引き続き集合論の「関係」を用いてオブジェクト指向モデリングを整理していきたいと思います。 1)概念 オブジェクト指向モデリングでは「概念」という用語が出てきます。オブジェクト指向で非常に重要な用語なのですが、これが巷の書籍を見るとこの説明がまた非常にわかりにくいと(個人的に)感じます。 「概念はエンティティ、つまり実体のことであり、実体化したものがインスタンスとなる。そのためオブジェクト指向のプログラミング言語ではインスタンス化して初めて処理ができる。…」 、、、非常にわかりにくいです。少なくとも私は全くわかりませんでした。 まず、ER図を提唱したピーター・チェン氏は、概念はエンティティセットであると言ってます。エンティティセットはエンティティの集合(セット)の意味で、　　概念=エンティティの集合である、という意味になります。「集合」ということが重要なのですが、DB最適化の方法論等に適用されるうちに「セット」が抜け落ちて、さらにエンティティを「実体」と訳されたため、難解になってしまった気がします。 集合論的に言えば、概念とは対象の集合に同値関係が定義された同値類(もしくはクラス)のことで、同値類の元をインスタンスといいます。 2)関連クラス つぎに関連クラスです。これは集合論における「関係」に他ならないのですが、少し見ていきます。 例えば、集合\(A,B\)を\[A\equiv \{とある会社の社員全体の集合\} \\B\equiv \{\mathrm{iPhone},\mathrm{Android},\mathrm{feature\ phone}\}\]とします。 このとき社員がどの携帯電話をもっているかを考えます。これは集合\(A,B\)の部分集合を選ぶ、つまり関係を定義することになります：\[ A\times B\ni a\times b \subset R 。\]例えば\( (X,\mathrm{iPhone} )\)は\(X\)さんはiPhoneを持つ、という意味になり、\( (\{Y,Z\},\mathrm{Android}) \)は\(Y\)さん,\(Z\)さんはAndroidをもつ、という意味になります。 さらに\(A\times B\)の部分集合の選び方は無数に存在しますが、選び方にある同値関係を入れることが出来ます。つまり1つ1つの関係を元とする集合を考え、その集合に同値関係をいれ同値類を作ることができることになります。この同値類が「関連クラス」になる、という形です。 上の例では関係\(R\)を「携帯電話所有」のような名前の関連クラスを定義することができます。 3)ロールContinue reading集合論的にオブジェクト指向を考える２

こんにちは、本日はオブジェクト指向を集合論の概念を用いて、独断と偏見で記述していきたいと思います。本稿はこちらで紹介した児玉さんの「UMLモデリングの本質」を参考しています。 1)集合論における「関係」 まず集合論上の「関係」について。\(A,B\)を空でない集合とします。このとき二項関係\(R\)とは、\[R\subset A\times B\]なる直積\(A\times B\)の部分集合\(R\)が存在するときをいい、\(a\in A,b\in B\)に対して、\[aRb\]や\[R(a,b)\]等で表記します。二項関係のよく知られている例は、不等号「\(<\)」で、\(a< b\)と表記します。(不等号は小学生のときから使っている記号でかなり見慣れているもので今更感満載ですが、典型的な二項関係の１種になります。) さて、関係のうち特別な関係である「同値関係」について定義します。一言で言えば、反射的かつ対称的かつ推移的な二項関係は同値関係と呼ばれます。集合\(M\)上の二項関係\(R\)について考えます。\(a,b,c\in M\)とすると・反射律：\(aRa\)・対称律：\(aRb\)ならば\(bRa\)・推移律：\(aRb \ \& \ bRc\)ならば\(aRc\)を満たす時、\(R\)は同値関係と呼び、\(\sim\)で表すことが多いです。 同値関係の例は、三角形の合同「\(\equiv\)」や等号「\(=\)」があります。 集合\(M\)に何かしらの同値関係「\(\sim\)」与えられると、「\(\sim\)」で\(M\)を分類することができます。これを\(\sim\)における商集合といい、\(M/\sim\)で表します。 \(M/\sim\)の元は「同値類」とよばれ、\[[a]\equiv \left\{m \in M \mid m \sim a \right\}\in M/\sim\]で定義します。このとき\(a\)を代表元といい、\([a]\)を同値類もしくはクラスと呼びます。 簡単な図でいうと以下のようなイメージです。 ちなみに同値類は\(M\)を直和分解するとも見ることができます。同値類の集合を\[\left\{[a] \inContinue reading集合論的にオブジェクト指向を考える

こんにちは、本日は関数解析の目玉の１つスペクトル定理について、ふんわり解説していきたいと思います。本稿もこちらで紹介した書籍を参考にしています。 有限次元のスペクトル分解は、こちらで示したように\[A=\sum_n a_n|e_n\rangle \langle e_n|\equiv \sum_n a_nE_n\]のような、固有値が離散的になるのですが、一般の線型作用素の場合無限次元になるので、無邪気に考えて、和は積分になることが予想できます。つまり\[A = \int \lambda dE(\lambda) \]的な雰囲気になります。\(\lambda\)や\(E(\lambda)\)を定義していないので、あくまで雰囲気/ノリ的な関係式ですが、上記に意味を追加していきます。 \(\int \lambda dE(\lambda)\)の\(\lambda\) さて、\(u,v\in \mathcal{H},\lambda\in\mathbb{C}\)とし、\(I\)を\(\mathcal{H}\)上の恒等作用素、\(A\)を\(\mathcal{H}\)上の線型作用素とします。\(v\)は既知として、\(u\)を求めたいとします。\[\lambda u -Au =v\]このとき形式的/ノリ的には\(\lambda I -A\neq 0\)であれば、\[u=\frac{1}{\lambda I -A} v\]とかけます。また、\((\lambda I -A)^{-1}\)は\[\frac{1}{\lambda I -A}Continue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事９

こんにちは、ちょっとマニアックになってきましたが、前回自己共役作用素の話をしましたが、スペクトル分解に入る前に、自己共役作用素の例を少しあげていきます。 1)掛け算作用素 まず簡単な例からあげます。ヒルベルト空間を\(\mathcal{H}=L^2(X,\mathcal{F},\mu)\)にとり、内積を\[\langle f,g\rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\mu(dx)\]ととります。線型作用素\(M_{\psi}:L^2(X)\ni f \rightarrow M_{\psi}(f)\in L^2(X)\)を\[M_{\psi}(f)\equiv \psi(x)f(x),\ \int_X \left| M_{\psi}\right|^2 \mu(dx) < \infty\]と定義します。要は、\(M_{\psi}(f)\)は、\(f(x)\)に\(\psi(x)\)を掛ける作用素のことで、シュレディンガー作用素(後述)のポテンシャル\(V(x)\)に相当するものです。 明らかにこれは任意の\(f,g\in L^2(X)\)に対して\( \langle f,M_{\psi}g\rangle = \langle M_{\psi}f,g\rangle\)を満たし、さらに\(\mathrm{dom}M_{\psi} = \mathrm{dom}M_{\psi}^*\)を満たすので、これは自己共役作用素になります。 2)微分作用素 \(L^2(X)\)上の線型作用素\(p:L^2(X)\ni fContinue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事８

こんにちは、前回に引き続き関数空間の例を挙げていきたいと思います。 ソボレフ空間 数学や物理では微分方程式とよばれる、微分を含んだ方程式が多数見かけます。例えば、シュレーディンガー方程式\[\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,y,z,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \nabla^2 + V(x,y,z)\right)\psi(x,y,z,t)\]や、拡散方程式\[\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,y,z,t) = D\nabla^2\psi(x,y,z,t)\]、波動方程式\[\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi(x,y,z,t) = c^2\nabla^2\psi(x,y,z,t)\]などがあります。関数解析的な立場でいうと、これらの解は、一般的に関数となりますので、関数空間から最適な関数を探すことが微分方程式を解くことになります。一般の微分方程式は解が存在しないこともありますし、解が存在しなくても近似解が存在する場合もあります。これらを調べるのも関数解析的手法が威力を発揮します。ところで、微分方程式の解は、微分可能であることが必要ですが、前回例にあげた\(L^p\)空間は可測関数全体の集合で、ルベーグ積分可能であるくらいの条件しか課しておらず、微分可能性については条件を課していません。※一般的に、関数が微分可能であることは、可測であることより強い条件になります。\(L^p\)空間の部分集合で、微分可能性を満たす集合を考えるのが今回でして、それがソボレフ空間となります。 さて、開集合\(\Omega\)上で\(k\)回微分可能な関数の集合\(C^{k}(\Omega)\)をつくり、その集合に次のような位相を入れます。\[\|f\| \equiv \left( \sum_{j=0}^{k} \int_X \left|\frac{\partial^{j} f}{\partial x^{j}}(x)\right|^p \mu(dx) \right)^{1/p}\]残念ながら、関数空間\( (C^k(\Omega),\|\cdot\| )\)は完備にはなりません。そのためここでひとつの拡張を行います。それは微分の拡張です。微分の拡張は超関数と呼ばれる関数の一般化の文脈で語られのですが、少しだけ紹介します。「試験関数」とよばれる無限回微分可能な関数\(\phi(x)\)を用いて、関数\(f(x)\)が微分可能であるとは\[\int_X \frac{\partial f}{\partial x}(x)\phi(x)\mu(dx)Continue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事６

こんにちは、前回までにバナッハ空間やヒルベルト空間をふんわりみてみました。今回はもう少し関数空間を説明していきたいと思います。 古典解析では、個々の関数に焦点あてそれぞれ別々に関数の性質を調べるに対し、関数解析では関数の集合を考え、そこに様々な位相を入れて、関数の集合の性質を調べる分野となります。現代数学では、集合に位相や線型性などの何かしらの構造が入ったものを「空間」とよびます。何かしらの構造が入った関数の集合を関数空間と呼びます。 関数空間の例を挙げていきます。 \(C(a,b)\) 連続関数について、こちらやこちらで少し紹介しました。ここでは、連続関数の作る空間を見ていきます。開集合\((a,b)\subset \mathbb{R}\)上の連続関数はたくさん存在します。そこで連続関数をすべて集めてきた集合を\( C(a,b) \)とします。関数の集合\( C(a,b) \)は線型性\[(af+bg)(x) = af(x) + bg(x) , \ f,g\in C(a,b) ,a,b\in \mathbb{R}\]が備わっており、線形空間となります。さらに位相 \( \| \cdot \|:C(a,b)\ni f \rightarrow \| f \| \inContinue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事５

こんにちは、本日はいままでと毛色が違いますが、投資について、個人の考えをぶちまけていきます。なお投資に関してど素人でして、間違いが多々あるかもしれませんので、予めご了承ください。 老後2000万円問題が騒がれて久しいですが、老後のために長期積立投資をしていこう的な話があります。自分も毎月少しづつ積立をしていますが、長期投資がなぜ安全なのかをすこし確率論を使って説明していきたいと思います。 確率論は現代的な立場では測度論的に記述されているので、本項もそこに倣いますが、ぶっちゃけ形式的なところのみなので、適宜読み流してもらってかまいません。 さて、\( (\Omega,\mathcal{F},P )\)を確率空間とし、\(\Omega\)上の確率過程\(\{X_t\}_{t\in\mathbb{R} }\)を\[X_t:\Omega\times \mathbb{R} \ni \omega \times t \rightarrow X_t(\omega)\in \mathbb{R}\]とします。確率変数\(X_t\)の期待値\( r_t \)は\[r_t\equiv E[X_t] = \int_{\Omega} X_t(\omega)P(d\omega)\] 分散\(V_t\)は\[V_t\equiv E\left[ X_t^2\right]-E[X_t]^2\]となり、標準偏差を\(\sigma _t= \sqrt{V_t}\)とします。 さて確率過程\(X_t\)をある資産価格の時間変化としてみます。 投資の世界では、期待値をリターン、標準偏差をリスクと呼びます。つまりリターンが\(r_t\)、リスクが\(\sigma_t\)となります。※標準偏差がリスクというのは少し違和感があるかもしれませんが、金融や投資の世界では資産価格はなるべく変動してほしくないという考えから、変動すること自体をリスクとみなします。偶然予想以上に資産価格があがったとしても、これはリスクになります。 ここでひとつの指標を導入します。いわゆる「シャープレシオ」です。これは\[S_p \simContinue reading長期積立投資が薦められる理由