Author: Kenji

こんにちは、こちらの記事で\(\varepsilon\)-\(\delta\)論法で連続を定義を定義しました。その定義は \[\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0\ s.t. \forall x ,|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x) -f(a)|<\varepsilon \] というもので、「\(\forall\varepsilon >0\)に対して\(\exists \delta>0\)が存在して、\(|x-a|< \delta\)となる\(\forall x\)に対して、\( |f(x)-f(a)|<\varepsilon\)が成り立つとき、\(f(x)\)は\(a\)で連続であるという。」という意味でした。 今回これをさらに一般化/抽象化するのが目標です。結構雰囲気的な説明が多いので、気になる人は位相空間論の参考書を参照ください。 ↑の連続の定義は、実は前提があります。それは\(x\)や\(f(x)\)は実数に値をとることです。ある集合が実数全体の部分集合であることは、条件の強い特別な場合になりますので、実数の集合から連続を定義するのに必要な条件だけをもつ集合に拡張していきます。 まず連続の定義の「\(|x-a|<\delta\)」に注目します。これをよく見ると「\(a\)を中心として半径\(\delta\)未満の球」と見ることもできます。厳密ではないですが、縁のない集合を開集合というので、「\(a\)を中心として半径\(\delta\)未満の球」は「何かしらの開集合」と表現することができます。同様に「\( |f(x)-f(a)|<\varepsilon\)」も何らかの開集合と表現できるので、連続の定義は大雑把にいえば 「何かしらの開集合から、何らかの開集合へ移す写像」と読み替えることができます。 さて開集合をもう少し深掘りしてみます。開集合は縁のない集合といいましたが、「縁がない」ということについて考えてみます。 もし\(X\)が絶対値のように距離を定義できる距離空間\( (X,d) \)とすると、\(X\)の部分集合\(U\)の任意の元\(x\in U\)に対して、ある\(\delta\)が存在して、\(d(x,y)<\delta\)となる\(y\)が\(y\in U\)になるとき、\(U\)は開集合になります。ここでのポイントは縁がないので、\(U\)の境界のいくらでも近くに\(x\)とそれに依存した\(\delta\)が取れる点です。仮に縁があると境界上に\(x\)が取れてしまい、それに対応する\(\delta\)は\(0\)しかとれないことになり、そのような\(U\)は開集合でないことになります。(この場合\(U\)は閉集合と呼ばれます。)Continue readingε-δから連続写像へ

こんにちは、こちらの記事で\(\varepsilon\)-\(\delta\)論法で連続を定義を定義しました。その定義は \[\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0\ s.t. \forall x ,|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x) -f(a)|<\varepsilon \] というもので、「\(\forall\varepsilon >0\)に対して\(\exists \delta>0\)が存在して、\(|x-a|< \delta\)となる\(\forall x\)に対して、\( |f(x)-f(a)|<\varepsilon\)が成り立つとき、\(f(x)\)は\(a\)で連続であるという。」という意味でした。 今回これをさらに一般化/抽象化するのが目標です。結構雰囲気的な説明が多いので、気になる人は位相空間論の参考書を参照ください。 ↑の連続の定義は、実は前提があります。それは\(x\)や\(f(x)\)は実数に値をとることです。ある集合が実数全体の部分集合であることは、条件の強い特別な場合になりますので、実数の集合から連続を定義するのに必要な条件だけをもつ集合に拡張していきます。 まず連続の定義の「\(|x-a|<\delta\)」に注目します。これをよく見ると「\(a\)を中心として半径\(\delta\)未満の球」と見ることもできます。厳密ではないですが、縁のない集合を開集合というので、「\(a\)を中心として半径\(\delta\)未満の球」は「何かしらの開集合」と表現することができます。同様に「\( |f(x)-f(a)|<\varepsilon\)」も何らかの開集合と表現できるので、連続の定義は大雑把にいえば 「何かしらの開集合から、何らかの開集合へ移す写像」と読み替えることができます。 さて開集合をもう少し深掘りしてみます。開集合は縁のない集合といいましたが、「縁がない」ということについて考えてみます。 もし\(X\)が絶対値のように距離を定義できる距離空間\( (X,d) \)とすると、\(X\)の部分集合\(U\)の任意の元\(x\in U\)に対して、ある\(\delta\)が存在して、\(d(x,y)<\delta\)となる\(y\)が\(y\in U\)になるとき、\(U\)は開集合になります。ここでのポイントは縁がないので、\(U\)の境界のいくらでも近くに\(x\)とそれに依存した\(\delta\)が取れる点です。仮に縁があると境界上に\(x\)が取れてしまい、それに対応する\(\delta\)は\(0\)しかとれないことになり、そのような\(U\)は開集合でないことになります。(この場合\(U\)は閉集合と呼ばれます。)Continue readingε-δから連続写像へ

こんにちは、本日は\(\varepsilon\)-\(\delta\)論法の続きを勝手に解説していきます。 まず関数の連続について見ていきます。 関数\(f(x)\)が\(x=a\)で連続であることの初等的な定義は以下になります。「\(x\)が\(x\neq a\)を満たしながら\(a\)に限りなく近づいていくとき、\(f(x)\)も限りなく\(f(a)\)に近づくときをいい、\(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)\)と記載する。」 雰囲気的にはこれでなんとく理解できますが、数学的には「限りなく近く」という文言が曖昧です。そこでこちらで数列の収束の定義で用いた、\(\varepsilon-\delta\)論法を使って、厳密に書き換えます。結果からいうと \(\forall\varepsilon >0\)に対して\(\exists \delta>0\)が存在して、\(|x-a|< \delta\)となる\(\forall x\)に対して、\( |f(x)-f(a)|<\varepsilon\)が成り立つとき、\(f(x)\)は\(a\)で連続であるという。 となります。もっと簡略化すると \[\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0\ s.t. \forall x ,|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x) -f(a)|<\varepsilon \] となります。\(s.t\)は「such that ~」の略で、「~のような」の意味合いです。Continue readingε-δ論法について　その２

こんにちは、\(\varepsilon\)-\(\delta\)について解説していきます。 まずは数列の極限からです。数列の場合は\(\varepsilon\)-\(N\)法とも呼ばれています。 数列の収束は\[\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = a\]と書かれましたが、これを\(\varepsilon\)-\(N\)で表すと\[\forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}:\forall n >N \Rightarrow |a_n -a |< \varepsilon\]となります。同じことですが日本語で書くと、 「任意の\(\varepsilon > 0\)に対して、ある\(N\)が(\( \varepsilon\)に依存して)存在して、もし\(n >N\)ならば、\(|a_n-a| < \varepsilon\)が成り立つ。」 になります。もうすこし補足すると、「\(0\)より大きい、どんな数\(\varepsilon\)を持ってきても、それに対応する\(N\)があって、その\(N\)より大きい\(n\)だったら、収束値\(a\)と\(a_n\)とのずれは\(\varepsilon\)より小さくなる」という感じです。 これは初見だとクラクラしてくるかと思いますが、以下これの意味を解説します。 例えば\[a_n = \frac{n}{n+1},\ n\in\mathbb{N}\]となる数列を考えてみましょう。この数列は\(1/2,2/3,3/4,4/5….\)となる数列で\(n\rightarrow \infty\)で\(1\)に収束となる数列となります。Continue readingε-δ論法について

前回はコンパクト性の話がでて厄介でしたが、すこし変わって、線型作用素の話をしていきたいとおもいます。これはちょうど線形代数でいうところの「行列」にあたるものです。 まずバナッハ空間上の線形写像を定義します。 DEF.10 線型作用素 \(X,Y\)をバナッハ空間とする。写像\(T:X \ni x \rightarrow T(x) \in Y \)が、\(x_1,x_2,\in X\)と\(a,b \in\mathbb{C}\)に対して \[ T(ax_1+ bx_2) = aT(x_1) + bT(x_2) \] を満たすとき、\(T\)は\(X\)上の線型作用素という。また\(\exists M\)が存在して、 \[ \|T(x)\|_Y \leq M\|x\|_X,\forall x\in XContinue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事４

おはようございます。今回も前回に続き、関数解析を自己満で解説していきます。 前回、バナッハ空間やヒルベルト空間は、\(\mathbb{R}^n\)や\(\mathbb{C}^n\)と本質的に異なってる部分があり、それが無限次元であることでした。そして無限次元空間では有界な閉集合もコンパクト性を満たしませんでした。まずここに触れていきたいと思います。 コンパクト性についてちゃんと定義します。これは一般の位相空間上で定義される概念です。まずコンパクトを定義するのに必要な開被覆について言及しておきます。 DEF.7 開被覆 \( (X,\mathcal{O}(X))\)を、空でない集合\(X\)と\(X\)上の開集合全体を\(\mathcal{O}(X)\)とする、位相空間とする。\(\{\lambda \mid\lambda\in \Lambda\}\)を添字集合とする開集合の族\( \{S_{\lambda}\mid \lambda \in \Lambda \}\subset \mathcal{O}(X)\)で、\(A\subset X\)を覆うことができるとき、\(\{S_{\lambda}\}_\lambda\)を\(A\)の開被覆であるという。つまり \[ X = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda \] が成り立つときをいう。\(\Lambda\)は非可算濃度であってもよい。 簡単に言えば、\(X\)の開集合で\(X\)を覆えるとき、覆ったものを開被覆といいます。開被覆は\(X\)をとりあえず覆えればいいので、基本的に無数に存在します。 続いて開被覆の概念を用いてコンパクト性について定義します。 DEF.8 コンパクト \( (X,\mathcal{O}(X))\)を位相空間とする。任意の開被覆\(\{S_\lambda\}_\lambda \subset\mathcal{O}(X)\)に対して、ある有限個の開被覆\(\{S_{n}\}_{n=1}^{m}\)が存在して、\(\{S_{n}\}_{n=1}^{m}\)で\(A\)を覆うことができるとき、部分集合\(A\subset X\)はコンパクトであるという。つまり\[Continue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事３

こんにちは、本日は前回につづきヒルベルト空間についてふわっと解説していきます。 さて、線型空間\(V\)は、ベクトル同士の足し算は定義されていましたが、ベクトル同士の掛け算は定義されていませんでした。ここではベクトル同士の掛け算を１つ定義していきます。いわゆる「内積」です。 DEF.4 内積空間 \(V\)を体\(F\)上の線型空間とする。写像\( \left \langle \cdot,\cdot \right \rangle: V\times V \ni u\times v \rightarrow \langle u,v\rangle \in F \)が以下の性質を満たす時、\(V\)上の内積という： 1) \(\langle v,v \rangle \geq 0\)かつ\(\langle v,v \rangle =Continue readingサラリーマンが関数解析を勝手に解説する無謀な記事２